《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 用“五点法”作出函数$y = 3 - \cos x$的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是 (A)

A.$(\pi, -1)$
B.$(0, 2)$
C.$(\frac{\pi}{2}, 3)$
D.$(\frac{3}{2}\pi, 3)$

答案： 1.A $x = \pi$时,$y = 3 - \cos\pi = 3 - (-1) = 4 \neq -1$.

2. 函数$y = \cos x (0 \leq x \leq \frac{\pi}{3})$的值域是 (B)

A.$[-1, 1]$
B.$[\frac{1}{2}, 1]$
C.$[0, \frac{1}{2}]$
D.$[-1, 0]$

答案： 2.B $\because$函数$y = \cos x$在$[0,\frac{\pi}{3}]$上是单调递减的,$\therefore$函数的值域为$[\cos\frac{\pi}{3},\cos 0]$,即$[\frac{1}{2},1]$.

3. 在区间$(0, \frac{\pi}{2})$上，下列函数是增函数的是 (D)

A.$y = \frac{1}{\sin x}$
B.$y = -\frac{1}{\cos x}$
C.$y = -\sin x$
D.$y = -\cos x$

答案： 3.D 由正、余弦函数的单调性判断可知选D.

4. 不等式$\cos x ＞ 0, x \in [0, 2\pi]$的解集是$[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3}{2}\pi,2\pi]$.

答案：
4.$[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3}{2}\pi,2\pi]$由余弦函数图象知,$x \in [0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3}{2}\pi,2\pi]$.

5. 函数$y = \cos^2 x - 6\cos x + 10$的值域为$[5,17]$.

答案： 5.$[5,17]$令$t = \cos x$,
由于$x \in \mathbf{R}$,故$-1 \leqslant t \leqslant 1$.
$y = t^{2} - 6t + 10 = (t - 3)^{2} + 1$,
当$t = -1$,即$\cos x = -1$时函数有最大值$17$;
当$t = 1$,即$\cos x = 1$时函数有最小值$5$.
所以该函数的值域是$[5,17]$.

知识点1 常数$\omega$对函数$y = \sin \omega x$图象的影响
(1) 在函数$y = \sin \omega x(\omega ＞ 0)$中，$\omega$决定了函数的周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$，通常称周期的倒数$\frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$为频率。
(2) 函数$y = \sin \omega x(\omega ＞ 0, \omega \neq 1)$的图象是将$y = \sin x$的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{\omega}$(当$\omega ＞ 1$时)或伸长(当$0 ＜ \omega ＜ 1$时)到原来的$\frac{1}{\omega}$倍(纵坐标不变)而得到的。

答案： 知识点1
(1)频率 $(2)\frac{1}{\omega}$

知识点2 常数$\varphi$对函数$y = \sin(x + \varphi)$图象的影响
(1) 在函数$y = \sin(\omega x + \varphi)$中，$\varphi$决定了$x = 0$时的函数值，通常称$\varphi$为初相，$\omega x + \varphi$为相位。
(2) 函数$y = \sin(\omega x + \varphi)(\varphi \neq 0)$的图象，是将$y = \sin \omega x$的图象上所有的点向左(当$\varphi ＞ 0$时)或向右(当$\varphi ＜ 0$时)平移$\frac{\varphi}{\omega}$个单位长度得到的。

答案： 知识点2
(1)初相 相位
(2)向左 向右 $\frac{\varphi}{\omega}$