《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例3.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在$A$处获悉后，立即测出该货船在方位角为$45^{\circ}$，距离为$10$海里的$C$处，并测得货船正沿方位角为$105^{\circ}$的方向，以$10$海里/小时的速度向前行驶，我国海军护航舰立即以$10\sqrt{3}$海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

答案： 例3:设所需时间为$t$小时，则$AB = 10\sqrt{3}t$，$CB = 10t$。
在$\triangle ABC$中，根据余弦定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC· BC\cos 120^{\circ}$，可得$(10\sqrt{3}t)^{2}=10^{2}+(10t)^{2}-2×10×10t\cos 120^{\circ}$，整理得$2t^{2}-t - 1 = 0$，解得$t = 1$或$t = -\frac{1}{2}$(舍去)。
所以护航舰需要1小时靠近货船。
此时$AB = 10\sqrt{3}$，$BC = 10$。
在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$\frac{BC}{\sin\angle CAB}=\frac{AB}{\sin 120^{\circ}}$，所以$\sin\angle CAB=\frac{BC\sin 120^{\circ}}{AB}=\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{2}}{10\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，所以$\angle CAB = 30^{\circ}$，所以护航舰航行的方位角为$75^{\circ}$。

对点训练3
如图，海平面上的甲船位于中心$O$的南偏西$30^{\circ}$，与$O$相距$15\ n mile$的$C$处.现甲船以$35\ n mile/h$的速度沿直线$CB$去营救位于中心$O$正东方向$25\ n mile$的$B$处的乙船，则甲船到达$B$处需要的时间为1$h$.

答案：
对点训练3:1 如图所示，
$\triangle OBC$中，$\angle BOC = 30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}$，$OC = 15$，$OB = 25$；

所以$BC^{2}=15^{2}+25^{2}-2×15×25×\cos 120^{\circ}=1225$，即$BC = 35$，又甲船的速度为$35$n mile/h，所以甲船到达$B$处需要的时间为$35÷35 = 1$(h)。故答案为1。

1.如图，设点$A,B$在河的两岸，一测量者在$A$的同侧所在的河岸边选定一点$C$.测出$A,C$两点间的距离为$50\ m$.$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle CAB = 105^{\circ}$，则$A,B$两点间的距离为(C)

A.$\frac{25\sqrt{2}}{2}\ m$
B.$25\sqrt{2}\ m$
C.$50\sqrt{2}\ m$
D.$50\sqrt{3}\ m$

答案： 1.$C$ 在$\triangle ABC$中，$\angle B = 180^{\circ}-105^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$。
由正弦定理得$\frac{50}{\sin 30^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 45^{\circ}}$，所以$AB=\frac{50\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=50\sqrt{2}$(m)。

2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得$AC$的长度为$4\ m$，$\angle A = 30^{\circ}$，则其跨度$AB$的长为(D)


A.$12\ m$
B.$8\ m$
C.$3\sqrt{3}\ m$
D.$4\sqrt{3}\ m$

答案： 2.$D$ 由题意知，$\angle A = \angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle C = 180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$，由正弦定理得，$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$，即$AB=\frac{AC×\sin C}{\sin B}=\frac{4×\sin 120^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=4\sqrt{3}$(m)。

3.东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有$1100$多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有$13$级.如图，在$A$点测得塔底在北偏东$60^{\circ}$的点$D$处，塔顶$C$的仰角为$30^{\circ}$.在$A$的正东方向且距$D$点$50\ m$的$B$点测得塔底在北偏西$45^{\circ}$，则塔的高度$CD$约为(C)($参考数据:\sqrt{6} \approx 2.4$)


A.$30\ m$
B.$35\ m$
C.$40\ m$
D.$45\ m$

答案： 3.$C$ 由题设，$BD = 50$，$\angle DAB = 30^{\circ}$，$\angle DBA = 45^{\circ}$，所以$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}}=\frac{50}{\sin 30^{\circ}}$，则$AD = 50\sqrt{2}$，又$\angle DAC = 30^{\circ}$，则$\tan\angle DAC=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，故$CD=\frac{50\sqrt{6}}{3}\approx40$m。故选$C$。