《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 在$\triangle ABC$中，若$(a - c·\cos B)·\sin B = (b - c·\cos A)·\sin A$，判断$\triangle ABC$的形状.
【分析】

▶[归纳提升]
对点训练 3
在$\triangle ABC$中，若$\sin A = 2\sin B\cos C$，且$\sin^{2}A = \sin^{2}B+\sin^{2}C$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 例 3:方法一:(角化边)因为$(a - c·\cos B)·\sin B=(b - c·\cos A)·\sin A$, 所以$(a - c·\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac})· b=(b - c·\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})· a$, 整理得:$b^{2}(a^{2}-c^{2}+b^{2})=a^{2}(b^{2}-c^{2}+a^{2})$, 即$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0$, 所以$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$或$a^{2}=b^{2}$. 所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$或$a=b$. 故$\triangle ABC$为直角三角形或等腰三角形. 方法二:(边化角)根据正弦定理,原等式可化为: $(\sin A - \sin C\cos B)\sin B=(\sin B - \sin C\cos A)\sin A$, 即$\sin C\cos B\sin B=\sin C\cos A\sin A$. 因为$\sin C\neq0$,所以$\sin B\cos B=\sin A\cos A$. 所以$\sin2B=\sin2A$.所以$2B=2A$或$2B + 2A=\pi$, 即$A=B$或$A + B=\frac {\pi}{2}$. 所以$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形. 对点训练 3:方法一:根据正弦定理,得$\frac {a}{\sin A}$=$\frac {b}{\sin B}$=$\frac {c}{\sin C}$ $\because\sin^{2}A=\sin^{2}B+\sin^{2}C$,$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$, $\therefore A$是直角,$B + C=90^{\circ}$, $\therefore2\sin B\cos C=2\sin B\cos(90^{\circ}-B)$ $=2\sin^{2}B=\sin A = 1$, $\therefore\sin B=\frac {\sqrt {2}}{2}$. $\because0^{\circ}＜B＜90^{\circ}$,$\therefore B = 45^{\circ}$,$C = 45^{\circ}$, $\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形. 方法二:根据正弦定理,得$\frac {a}{\sin A}$=$\frac {b}{\sin B}$=$\frac {c}{\sin C}$ $\because\sin^{2}A=\sin^{2}B+\sin^{2}C$, $\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,$\therefore A$是直角, $\because A=180^{\circ}-(B + C)$,$\sin A=2\sin B\cos C$, $\therefore\sin(B + C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\cos C$, $\therefore\sin(B - C)=0$. 又$-90^{\circ}＜B - C＜90^{\circ}$,$\therefore B - C=0$,$\therefore B = C$, $\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形.

例 4. 设$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$b\sin A = \sqrt{3}a\cos B$.
(1)求角$B$的大小；
(2)若$b = 3$，$\sin C = 2\sin A$，求$a$，$c$的值.
【分析】(1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出$B$. (2)由正弦定理可知$c = 2a$，再用余弦定理列方程可求得$a$，$c$.

答案： 例 4:
(1)$\because b\sin A=\sqrt {3}a\cos B$, 由正弦定理得$\sin B\sin A=\sqrt {3}\sin A\cos B$. 在$\triangle ABC$中,$\sin A\neq0$, 即得$\tan B=\sqrt {3}$,$\therefore B=\frac {\pi}{3}$.
(2)$\because\sin C=2\sin A$,由正弦定理得$c = 2a$, 由余弦定理$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cos\frac {\pi}{3}$, 即$9 = a^{2}+4a^{2}-2a·2a·\frac {1}{2}$ 解得$a=\sqrt {3}$,$\therefore c = 2a = 2\sqrt {3}$.