《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 下列复数是复数三角形式表示的是 (D)

A.$\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4})$
B.$-\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$
C.$\frac{1}{2}(\sin\frac{3\pi}{4} + i\cos\frac{3\pi}{4})$
D.$\cos\frac{7\pi}{5} + i\sin\frac{7\pi}{5}$

答案： 1 D 选项A，$\cos\frac{\pi}{4}$与$i\sin\frac{\pi}{4}$之间用“ - ”连接，不是用“ + ”连
接；选项B，$-\frac{1}{2}＜0$不符合$r\geq0$要求；选项C，是$\sin\frac{3\pi}{4}$与
$i\cos\frac{3\pi}{4}$用“ + ”连接而不是$\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}$的形式.故A，B，C
均不是复数的三角形式.故选D.

2. 复数$z = \sqrt{3} - i$的三角形式为 (D)

A.$2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$
B.$2(\cos\frac{5\pi}{3} - i\sin\frac{5\pi}{3})$
C.$2(\cos\frac{7\pi}{6} - i\sin\frac{7\pi}{6})$
D.$2(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6})$

答案： 2 D 因为$r = 2$，所以$\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，与$z=\sqrt{3}-i$对应的点在第四象
限，所以$\arg(\sqrt{3}-i)=\frac{11\pi}{6}$，所以$z=\sqrt{3}-i=2(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6})$.

3. 复数$z = \sqrt{3}(\sin\frac{2\pi}{3} + i\cos\frac{2\pi}{3})$化为代数形式为(D)

A.$\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
B.$-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
C.$-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
D.$\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

答案： 3 D $z=\sqrt{3}(\sin^{2}\frac{2\pi}{3}+i\cos^{2}\frac{2\pi}{3})=\sqrt{3}\sin\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}i\cos\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+i\sqrt{3}×(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

4. 计算$8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) × (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) =$$-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i$

答案： 4 $-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i$ 原式$=8[\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})]$
$=8(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})=-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i$.

5. 计算$12(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}) ÷ [6(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})] =$$-\sqrt{3}+i$.

答案： 5 $-\sqrt{3}+i$ 原式$=2[\cos(\frac{7\pi}{3}-\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{7\pi}{3}-\frac{3\pi}{2})]$
$=2(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})=-\sqrt{3}+i$.