《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例2. (1)求函数$y = \tan(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4})$的单调区间.
(2)比较$\tan(-\frac{13\pi}{4})$与$\tan(-\frac{12\pi}{5})$的大小.
【分析】 (1)利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间. (2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小.
▶[归纳提升]

答案： 例2:
(1)由$k\pi - \frac{\pi}{2} ＜ \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} ＜ k\pi + \frac{\pi}{2}(k\in \mathbf{Z})$，得$2k\pi - \frac{\pi}{2} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{3\pi}{2},k\in \mathbf{Z}$，所以函数$y = \tan(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4})$的单调递增区间是$(2k\pi - \frac{\pi}{2},2k\pi + \frac{3\pi}{2})(k\in \mathbf{Z})$。
(2)由于$\tan(-\frac{13\pi}{4})=\tan(-4\pi+\frac{3\pi}{4})=\tan\frac{3\pi}{4}=-\tan\frac{\pi}{4}$，$\tan(-\frac{12\pi}{5})=-\tan(2\pi+\frac{2\pi}{5})=-\tan\frac{2\pi}{5}$，又$0 ＜ \frac{\pi}{4} ＜ \frac{2\pi}{5} ＜ \frac{\pi}{2}$，而$y = \tan x$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增，所以$\tan\frac{\pi}{4} ＜ \tan\frac{2\pi}{5}$，所以$\tan(-\frac{13\pi}{4}) ＞ \tan(-\frac{12\pi}{5})$。

▶对点训练2
(1)比较$\tan 1, \tan 2, \tan 3$的大小；
(2)求函数$y = 3\tan(\frac{\pi}{4} - 2x)$的单调区间.

答案： 对点训练2:
(1)因为$\tan2=\tan(2 - \pi)$，$\tan3=\tan(3 - \pi)$。又因为$\frac{\pi}{2} ＜ 2 ＜ \pi$，所以$-\frac{\pi}{2} ＜ 2 - \pi ＜ 0$。因为$\frac{\pi}{2} ＜ 3 ＜ \pi$，所以$-\frac{\pi}{2} ＜ 3 - \pi ＜ 0$。显然$-\frac{\pi}{2} ＜ 2 - \pi ＜ 3 - \pi ＜ 1 ＜ \frac{\pi}{2}$，又$y = \tan x$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$内是单调递增的，所以$\tan(2 - \pi) ＜ \tan(3 - \pi) ＜ \tan1$，即$\tan2 ＜ \tan3 ＜ \tan1$。
(2)$y = 3\tan(\frac{\pi}{4}-2x)=-3\tan(2x - \frac{\pi}{4})$，由$-\frac{\pi}{2}+k\pi ＜ 2x - \frac{\pi}{4} ＜ \frac{\pi}{2}+k\pi$得，$-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} ＜ x ＜ \frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}(k\in \mathbf{Z})$，所以$y = 3\tan(\frac{\pi}{4}-2x)$的单调递减区间为$(-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2})(k\in \mathbf{Z})$。

例3. (1)求函数$f(x) = \frac{1}{2}\tan(3x - \frac{\pi}{5})$的最小正周期；
(2)已知函数$f(x) = a\sin x + b\tan x + 2$，若$f(3) = -1$，求$f(-3)$的值.
【分析】 (1)根据正切函数最小正周期求解. (2)根据函数$y = a\sin x + b\tan x$是奇函数求解.
▶[归纳提升]

答案： 例3:
(1)因为$\frac{1}{2}\tan(3x - \frac{\pi}{5}) = \frac{1}{2}\tan(3x - \frac{\pi}{5} + \pi)$，即$\frac{1}{2}\tan[3(x + \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{5}] = \frac{1}{2}\tan(3x - \frac{\pi}{5})$。因此$f(x + \frac{\pi}{3}) = f(x)$，故函数的最小正周期为$T = \frac{\pi}{3}$。
(2)令$g(x) = a\sin x + b\tan x$，则$f(x) = g(x) + 2$。因为$g(-x) = a\sin(-x) + b\tan(-x) = - (a\sin x + b\tan x) = -g(x)$，所以$g(x)$是奇函数。因为$f(3) = g(3) + 2 = -1$，所以$g(3) = -3$，则$g(-3) = 3$。故$f(-3) = g(-3) + 2 = 3 + 2 = 5$。