《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练3
函数$y = 2 + \cos x,x \in \left( - \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$的值域为$[\frac{3}{2},3]$.

答案： 对点训练3:$[\frac{3}{2},3]$ 当$x \in ( - \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$时，$\cos x \in [ - \frac{1}{2},1]$，
所以$2 + \cos x \in [\frac{3}{2},3]$.
即函数$y = 2 + \cos x,x \in ( - \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$的值域为$[\frac{3}{2},3]$.

例 4. (1) 函数$y = \cos x$的一个递增区间为 (D)
A. $\left( - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
B. $(0,\pi)$
C. $\left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
D. $(\pi,2\pi)$
(2) 函数$y = \sin2x$的递减区间是 (B)
A. $\left[ \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right](k \in \mathbf{Z})$
B. $\left[ k\pi + \frac{\pi}{4},k\pi + \frac{3\pi}{4}\right](k \in \mathbf{Z})$
C. $\left[ \pi + 2k\pi,3\pi + 2k\pi\right](k \in \mathbf{Z})$
D. $\left[ k\pi - \frac{\pi}{4},k\pi + \frac{\pi}{4}\right](k \in \mathbf{Z})$

答案：
(1)D
(2)B
(1)$y = \cos x$的单调增区间为$[2k\pi - \pi,2k\pi](k \in \mathbf{Z})$令$k = 1$,得$[\pi,2\pi]$，即为$y = \cos x$的一个单调递增区间,而$(\pi,2\pi) \subseteq [\pi,2\pi]$,故选D.
(2)欲求函数$y = \sin 2x$的单调递减区间.
根据正弦函数的性质，有$2k\pi + \frac{\pi}{2} \leqslant 2x \leqslant 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$，
$k\pi + \frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant k\pi + \frac{3\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$.
所以函数$y = \sin 2x$的单调减区间为$[k\pi + \frac{\pi}{4},k\pi + \frac{3\pi}{4}]$
$(k \in \mathbf{Z})$.故选B.

对点训练4
求下列函数的单调区间.
(1)$y = \sin x,x \in [-\pi,\pi]$; (2)$y = \cos x,x \in [-\pi,\pi]$.

答案：
(1)$y = \sin x$在$x \in [ - \pi,\pi]$上的递增区间为$[ - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，递减区间为$[ - \pi, - \frac{\pi}{2}],[ \frac{\pi}{2},\pi]$.
(2)$y = \cos x$在$x \in [ - \pi,\pi]$上的递增区间为$[ - \pi,0]$，递减区间为$[0,\pi]$.

1. 函数$y = 2\sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$的值域是 (C)

A.$\left[ -2,2\right]$
B.$\left[ -1,1\right]$
C.$\left[0,1\right]$
D.$\left[0,2\right]$

答案： 1.C 令$t = \sin x, \because 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}, \therefore 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{2}, \therefore y = 2t \in [0,1]$，故选C.

2. 函数$y = 2 + \frac{1}{3}\cos x$的定义域为 (B)

A.$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
B.$\mathrm{R}$
C.$\{x|x \neq k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$
D.$\left\{x|x \neq k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z}\right\}$

答案： 2.B

3. 函数$y = \sin x,x \in \left[ -\pi,\frac{\pi}{3}\right]$的增区间为$[ - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3}]$，减区间为$[ - \pi, - \frac{\pi}{2})$.

答案： 3.$[ - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3}]$ $[ - \pi, - \frac{\pi}{2})$ 借助单位圆可知，$y = \sin x,x \in [ - \pi,\frac{\pi}{3}]$，在区间$[ - \pi, - \frac{\pi}{2})$上是减少的，在$[ - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3}]$上是增加的.

4. 函数$y = 2 - \sin x$的最小正周期为$2\pi$.

答案： 4.$2\pi$ 因为$2 - \sin(2\pi + x) = 2 - \sin x$，所以$y = 2 - \sin x$的最小正周期为$2\pi$.

5. 求$y = -2\sin x,x \in \left[ -\frac{1}{6}\pi,\frac{3}{4}\pi\right]$的最大值与最小值.

答案： 5.当$x = - \frac{\pi}{6}$时，$y_{\max} = 1$，
当$x = \frac{\pi}{2}$时，$y_{\min} = - 2$.