《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. (1) 在边长为$1$的正三角形$ABC$中，设$\overrightarrow{BC} =$$2\overrightarrow{BD}$$2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{BE} = \underline{ \underline{-\frac{1}{4}}}$.

答案：
(1) $-\frac{1}{4}$

(2) 已知$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$120^{\circ}$，试求：
①$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}$；
②$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$；
③$(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b})$.
【分析】 (1) 向量线性运算的几何意义$\xrightarrow{将\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BE}用\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}表示出来}$ $\xrightarrow{将\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{BE}转化为\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}间的运算}$

(2) 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可.

答案： ①$a· b = |a||b|\cos120^{\circ}=2×3×(-\frac{1}{2})=-3$.
②$(a + b)·(a - b)=a^{2}-a· b + a· b - b^{2}=a^{2}-b^{2}=|a|^{2}-|b|^{2}=4 - 9=-5$.
③$(2a - b)·(a + 3b)=2a^{2}+6a· b - a· b - 3b^{2}=2|a|^{2}+5a· b - 3|b|^{2}=2×4 - 5×3×9=-34$.

对点训练1
(1) 已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -1$，则$\boldsymbol{a} · (2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) =$ (B)
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $0$

答案：
(1) B

(2) 在等腰直角三角形$ABC$中，$AB = BC = 4$，则$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} = \underline{ $0$}$，$\overrightarrow{BC} · \overrightarrow{CA} = \underline{ $-16$}$，$\overrightarrow{CA} · \overrightarrow{AB} = \underline{ $-16$}$.

答案：
(2) 0 -16 -16

例2. (1) 已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，其中$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}| = 4$，$|\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| = 2$，则$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影数量为 (A)
A. $-1$
B. $1$
C. $-2$
D. $2$
(2) 已知向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 5$，则$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$方向上的投影数量为 (B)
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $2$
D. $\frac{5}{2}$

答案：
(1) A
(2) B

对点训练2
已知两个单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$.
(1) 若$\boldsymbol{c} = \lambda\boldsymbol{a} + \left(3 - \frac{\lambda^2}{2}\right)\boldsymbol{b}(\lambda \in \mathbf{R})$，且$\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} = 0$，则$\lambda$的值为$\underline{ $-2 或 3$}$；
(2) 向量$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影数量为$\underline{ $$\frac{3}{2}$$}$.

答案：
(1) -2 或 3
(2) $\frac{3}{2}$