《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 求下列各式的值：
(1)已知$\cos(\alpha - \beta)=-\frac{1}{2}$,$\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{3}$,求$\cos\alpha\cos\beta,\sin\alpha\sin\beta$的值；
(2)求$\frac{\sin40^{\circ}(1 + 2\cos40^{\circ})}{2\cos^{2}40^{\circ}+\cos40^{\circ}-1}$的值.
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答案： 例3:
(1)$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]=\frac{1}{2}×$
$(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})=-\frac{1}{12}$，
$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]=-\frac{1}{2}×$
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=-\frac{5}{12}$.
(2)原式$=\frac{\sin40^{\circ}+2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}}{\cos40^{\circ}+(2\cos^{2}40^{\circ}-1)}$
$=\frac{\sin40^{\circ}+\sin80^{\circ}}{2\cos60^{\circ}\cos20^{\circ}}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$.

例 4. (1)已知$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$,$2\sin2\alpha=1 - \cos2\alpha$,则$\tan\frac{\alpha}{2}=$
A.$-\frac{\sqrt{5}+3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$
C.$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2)求解下列问题：
①求证:$\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}$,$\cos2\alpha=\frac{1-\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}$;
②已知$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$,$\cos\alpha=-\frac{5}{13}$,$\tan\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}$,求$\cos(\frac{\alpha}{2}+\beta)$.
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答案： 例4:
(1)D
(2)见解析
【解析】
(1)由$2\sin2\alpha=1-\cos2\alpha$得$4\sin\alpha\cos\alpha$
$=2\sin^{2}\alpha$，
又因为$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，所以$\sin\alpha\neq0,\cos\alpha\neq0$，
所以$\sin\alpha=2\cos\alpha$，
又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，联立得$\begin{cases}\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5},\\\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}.\end{cases}$
所以$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}\sin\alpha}{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=$
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2)①证明:$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}$
$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=\frac{1-\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}$
②$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，则$\frac{\alpha}{2}\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})$，由$\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=$
$-\frac{5}{13}$，解得$\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{2}{\sqrt{13}}$，
所以$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$，
因为$\tan\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}$，
由①得$\sin\beta=\frac{2\tan\frac{\beta}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5},\cos\beta=\frac{1-\tan^{2}\frac{\beta}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\beta}{2}}$
$=\frac{3}{5}$，
所以$\cos(\frac{\alpha}{2}+\beta)=\cos\frac{\alpha}{2}\cos\beta-\sin\frac{\alpha}{2}\sin\beta=-\frac{2}{\sqrt{13}}×\frac{3}{5}-$
$\frac{3}{\sqrt{13}}×\frac{4}{5}=-\frac{18}{5\sqrt{13}}=-\frac{18\sqrt{13}}{65}$.