《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点 平面向量数量积的坐标表示
设向量$\boldsymbol{a} = (x_1,y_1),\boldsymbol{b} = (x_2,y_2)$.

答案： 模：$\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$；
夹角：$\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$；
垂直：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$。

例1. (1) 设$\boldsymbol{a} = (1,-2),\boldsymbol{b} = (-3,4),\boldsymbol{c} = (3,2)$，则$(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c} =$ (C)

A.12
B.0
C.-3
D.-11

答案：
(1)C
∵$\boldsymbol{a}=(1,-2)$,$\boldsymbol{b}=(-3,4)$,$\boldsymbol{c}=(3,2)$,
∴$\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}=(-5,6)$,
∴$(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b})· \boldsymbol{c}=(-5)×3 + 6×2=-3$.

(2) 已知$\boldsymbol{a} = (1,1),\boldsymbol{b} = (2,5),\boldsymbol{c} = (3,x)$，若$(8\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c} = 30$，则$x =$ (C)

A.6
B.5
C.4
D.3

答案：
(2)C 由题意可得,$8\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}=(6,3)$,又$(8\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})· \boldsymbol{c}=30$,$\boldsymbol{c}=(3,x)$,
∴$18 + 3x=30$,解得$x = 4$.

(3) 已知$\boldsymbol{a} = (2,-1),\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = (6,3)$，若$\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} = 14,|\boldsymbol{c}| = 5$，则向量$\boldsymbol{c}$的坐标为(3,4)或(4,3).

答案：
(3)(3,4)或(4,3) 因为$2\boldsymbol{b}=(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) - \boldsymbol{a}=(6,3)-(2,-1)=(4,4)$,所以$\boldsymbol{b}=(2,2)$.设$\boldsymbol{c}=(x,y)$,则由题可知$\begin{cases}2x + 2y = 14,\\\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4,\\y = 3\end{cases}$,所以$\boldsymbol{c}=(3,4)$或$\boldsymbol{c}=(4,3)$.

对点训练1
(1) 在平面直角坐标系$xOy$中，正方形$OABC$的对角线$OB$的两端点坐标分别为$O(0,0),B(1,1)$，则$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} =$1.
(2) 已知向量$\boldsymbol{a} = (1,k),\boldsymbol{b} = (2,2)$，且$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$共线，那么$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} =$4.

答案：

(1)1
(2)4
(1)如图
所示，在正方形$OABC$中,$A(0,1)$,$C(1,0)$(当然两者位置可互换，不影响最终结果),则$\overrightarrow{AB}=(1,0)$,$\overrightarrow{AC}=(1,-1)$,从而$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=(1,0)·(1,-1)=1×1 + 0×(-1)=1$.
　　　　　　　　　　　　
(2)因为向量$\boldsymbol{a}=(1,k)$,$\boldsymbol{b}=(2,2)$,所以$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}=(3,k + 2)$,又$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$共线,所以$3k-(k + 2)=0$,解得$k = 1$,所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1×2 + 1×2=4$.