《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练2
本例(2)中，若改为“将$f(x)$的图象向右平移$\varphi(0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2})$个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数$h(x)$的图象，使$h(x)$的一个对称轴为$x = -\frac{2\pi}{3}$”，求$\varphi$的值.

答案： 对点训练2:依题意有$h(x) = f(\frac{x}{4} - \varphi) = \cos(\frac{x}{2} - 2\varphi) + 1$，因为其图象的对称轴为$x = - \frac{2\pi}{3}$，所以$\frac{1}{2} · ( - \frac{2\pi}{3}) - 2\varphi = k\pi$，解得$\varphi = - \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}(k \in \mathbf{Z})$，又因为$0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}$，所以取$k = - 1$得$\varphi = \frac{\pi}{3}$.

例3. 已知函数$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$.
(1) 用“五点法”画出$f(x)$在一个周期内的图象.
(2) 求函数$f(x)$的单调递增区间；
(3) 说明此函数图象可由$y = \sin x$的图象经怎样的变换得到.
【分析】 (1) 根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期的大致图象即可；
(2) 根据正弦函数的单调性即可求解；
(3) 由图象变换过程描述平移变换、伸缩变换即可.
►[归纳提升]

答案：
例3:
(1)列表如下：
$2x + \frac{\pi}{6}$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$x$ $-\frac{\pi}{12}$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{12}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{12}$
$f(x)$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $0$
$f(x)$在一个周期内的图象如图所示：

(2)$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$，令$2k\pi - \frac{\pi}{2} \leqslant 2x + \frac{\pi}{6} \leqslant 2k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$，得$k\pi - \frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant k\pi + \frac{\pi}{6}(k \in \mathbf{Z})$. 因此，函数$y = f(x)$的单调递增区间为$[k\pi - \frac{\pi}{3},k\pi + \frac{\pi}{6}](k \in \mathbf{Z})$.
(3)函数$y = \sin x$图象先向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位得到函数$y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$图象，再将函数的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，即可得函数$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$图象.