《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例4.已知，如图所示.
(1)分别写出终边落在$OA,OB$位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
▶[归纳提升]

答案： 例4：
(1)终边落在$OA$位置上的角的集合为$\{\alpha|\alpha = 90^{\circ} + 45^{\circ} + k · 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\} = \{\alpha|\alpha = 135^{\circ} + k · 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$，终边落在$OB$位置上的角的集合为$\{\beta|\beta = -30^{\circ} + k · 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于$-30^{\circ}$到$135^{\circ}$之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为$\{\alpha|-30^{\circ} + k · 360^{\circ} \leq \alpha \leq 135^{\circ} + k · 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.

对点训练4
如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?

答案： 对点训练4：在$0^{\circ} \sim 360^{\circ}$范围内、阴影部分(包括边界)表示的角范围是：$150^{\circ} \leq \alpha \leq 225^{\circ}$，则满足条件的角$\alpha$为$\{\alpha|k · 360^{\circ} + 150^{\circ} \leq \alpha \leq k · 360^{\circ} + 225^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.

1. 已知集合$M = \{$第一象限角$\},N = \{$锐角$\},P = \{$小于$90^{\circ}$的角$\}$，则下面正确的是
(D)

A.$M = N = P$
B.$M\subset P$
C.$M\cap P = N$
D.以上都不对

答案： 1. D $M = \{\theta|k · 360^{\circ} ＜ \theta ＜ 90^{\circ} + k · 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$，$N = \{\theta|0^{\circ} ＜ \theta ＜ 90^{\circ}\}$，$P = \{\theta|\theta ＜ 90^{\circ}\}$，故选D.

2.$2024^{\circ}$是
(C)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 2. C 由于$2024^{\circ} = 360^{\circ} × 5 + 224^{\circ}$，而$224^{\circ}$是第三象限角，则$2024^{\circ}$也是第三象限角.

3. 与$-457^{\circ}$角终边相同的角的的集合是
(C)

A.$\{\alpha\mid\alpha = k·360^{\circ}+457^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
B.$\{\alpha\mid\alpha = k·360^{\circ}+97^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
C.$\{\alpha\mid\alpha = k·360^{\circ}+263^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
D.$\{\alpha\mid\alpha = k·360^{\circ}-263^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$

答案： 3. C $-457^{\circ}$与$-97^{\circ}$角终边相同，又$-97^{\circ}$角与$263^{\circ}$角终边相同，又$263^{\circ}$角与$k · 360^{\circ} + 263^{\circ}$角终边相同，
∴应选C.

4. 若角$\alpha$与$\beta$的终边互为反向延长线，则有
(D)

A.$\alpha = \beta + 180^{\circ}$
B.$\alpha = \beta - 180^{\circ}$
C.$\alpha = -\beta$
D.$\alpha = \beta +(2k + 1)·180^{\circ},k\in\mathbf{Z}$

答案： 4. D 角$\alpha$与$\beta$的终边互为反向延长线，则$\alpha = \beta + 180^{\circ} + k · 360^{\circ} = \beta + (2k + 1)180^{\circ}$，故选D.

5. 写出图中阴影区域所表示角$\alpha$的集合(包括边界).
(1)
(2)

答案： 5.
(1)$\{\alpha|k · 360^{\circ} + 30^{\circ} \leq \alpha \leq k · 360^{\circ} + 90^{\circ},k \in \mathbf{Z}\} \cup \{\alpha|k · 360^{\circ} + 210^{\circ} \leq \alpha \leq k · 360^{\circ} + 270^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$或写成$\{\alpha|k · 180^{\circ} + 30^{\circ} \leq \alpha \leq k · 180^{\circ} + 90^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.
(2)$\{\alpha|k · 360^{\circ} - 45^{\circ} \leq \alpha \leq k · 360^{\circ} + 45^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.