《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例3.已知球的两个平行截面的面积分别为$5\pi$和$8\pi$，它们位于球心的同侧，且距离等于$1$，求这个球的半径.
►[归纳提升]

答案：
例3:如图,
　　　　　　　
设这两个截面圆的半径分别为r₁,r₂,球心到截面的距离分别为d₁,d₂,球的半径为R,则
$\pi r₁² = 5\pi,\pi r₂² = 8\pi,$所以r₁² = 5,r₂² = 8,
又因为R² = r₁² + d₁² = r₂² + d₂²,所以d₂² - d₁² = 8 - 5 = 3,
即(d₁ - d₂)(d₁ + d₂) = 3.又d₁ - d₂ = 1,
所以$\begin{cases} d_{1} + d_{2} = 3, \\ d_{1} - d_{2} = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} d_{1} = 2, \\ d_{2} = 1. \end{cases}$
所以$R = \sqrt{r_{1}^{2}+d_{1}^{2}} = \sqrt{5 + 4} = 3,$即球的半径等于3.

►对点训练3
用一个平面截半径为$5\ cm$的球，球心到截面距离为$4\ cm$，求截面圆的面积.

答案：
对点训练3:如图,设AK为截面圆的半径,则OK⊥AK.在Rt△OAK中,OA = 5cm,OK = 4cm,
　　　　　　　　　　　　　　　
∴$AK = \sqrt{OA^{2}-OK^{2}}$
$= \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3(cm),$
∴截面圆的面积为$\pi·AK² = 9\pi(cm²).$

1.下列几何体中是旋转体的是 (B)
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.

A.①
B.①和④
C.①和⑤
D.③和④

答案： 1.B ①④是旋转体,②③⑤是多面体,故选B.

2. 如图所示的组合体，其结构特征是 (D)


A.两个圆锥
B.两个圆柱
C.一个棱锥和一个棱柱
D.一个圆锥和一个圆柱

答案： 2.D 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体.

3. 关于圆台，下列说法正确的是$\ul{$②③④$ }.$
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线大于高；
④两底面圆心的连线是高.

答案： 3.②③④ 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆,则①不正确,②③④正确.

4.已知圆锥的母线长为$5$，底面圆直径为$8$，则圆锥的高$h =$\ul{3 }.

答案：
4.3 如图,
　　　　　　　　　　　　　　　
∵圆锥的底面直径AB = 8,
∴圆锥的底面半径R = OA = 4,
又
∵SA = 5,
∴圆锥的高$h = SO = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3.$

5. 若球的半径为$2$，则与球心的距离为$\sqrt{3}$的平面截球所得的圆面的面积为\ul{$\pi$ }.

答案：
$5.\pi $如图,
　　　　　　　　
圆面半径为$\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 1,$
所以截得圆面面积为$\pi.$