《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 复数代数形式的乘法法则
(1)乘法法则
已知$z_1 = a + bi$,$z_2 = c + di$,$a,b,c,d \in \mathbf{R}$,则$z_1 · z_2 = (a + bi)(c + di) =$$(ac - bd) + (ad + bc) i$.
(2)复数乘法的运算律
对于任意$z_1$,$z_2$,$z_3 \in \mathbf{C}$,有

交换律 $z_1 · z_2 =$$z_2 · z_1$
结合律 $(z_1 · z_2) · z_3 =$$z_1 · (z_2 · z_3)$
乘法对加法的分配律 $z_1 · (z_2 + z_3) =$$z_1z_2 + z_1z_3$
(3)复数范围内正整数指数幂的运算性质
对复数$z$,$z_1$,$z_2$和正整数$m$,$n$,有$z^m · z^n = z^{m + n}$,$(z^m)^n = z^{mn}$,$(z_1 · z_2)^n = z_1^n · z_2^n$.
(4)$\mathrm{i}$的乘方的运算性质
一般地,对任意自然数$n$,有$\mathrm{i}^{4n} = 1$,$\mathrm{i}^{4n + 1} = \mathrm{i}$,$\mathrm{i}^{4n + 2} = -1$,$\mathrm{i}^{4n + 3} = -\mathrm{i}$.
(5)互为共轭复数的性质
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.即若$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$,则$z · \overline{z} = |z|^2 = |\overline{z}|^2$.

答案：
(1)$(ac - bd) + (ad + bc) i$
(2)$z_2 · z_1$ $z_1 · (z_2 · z_3)$ $z_1z_2 + z_1z_3$

知识点2 复数代数形式的除法法则
$(a + bi) ÷ (c + di) = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\mathrm{i}(c + di \neq 0,a,b,c,d \in \mathbf{R})$.

答案： $(a + b i) ÷ (c + di) = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} i(c + di \neq 0,a,b,c,d \in \mathbf{R})$.

例1. (1)复数$(2 + z)(1 + \mathrm{i}) = 2\mathrm{i}$,则$\overline{z} =$

A.$1 + \mathrm{i}$
B.$-1 - \mathrm{i}$
C.$-1 + \mathrm{i}$
D.$1 - \mathrm{i}$

答案：
(1)B
(1)$2 + z = \frac{2 i}{1 + i} = 1 + i \Rightarrow z = -1 + i$.则$\bar{z} = -1 - i$,故选B.

(2)若$z = 1 + \mathrm{i}$,则$|z^2 - 2z| =$

A.$0$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

答案：
(2)D
(2)由题意可得$z^2 - 2z = 2 i - 2(1 + i) = -2$.故$|z^2 - 2z| = |1 - 2 i| = 2$.故选D.