《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例2. (1) 比较下列各组数的大小：
①$\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)$与$\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)$; ②$\sin\frac{7}{4}$与$\cos\frac{5}{3}$.
(2) 求函数$y = -2\sin x - 1$的单调递增区间.
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答案：
(1)①因为$-\frac{\pi}{2} ＜ -\frac{\pi}{10} ＜ -\frac{\pi}{18} ＜ 0$，正弦函数$y = \sin x$在区间$[-\frac{\pi}{2},0]$上是增函数，所以$\sin(-\frac{\pi}{18}) ＞ \sin(-\frac{\pi}{10})$。
②因为$\cos\frac{5}{3} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{5}{3})$，又$\frac{\pi}{2} ＜ \frac{7}{4} ＜ \frac{\pi}{2} + \frac{5}{3} ＜ \frac{3\pi}{2}$，而正弦函数$y = \sin x$在$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$上是减函数，所以$\sin\frac{7}{4} ＞ \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{5}{3})$，即$\sin\frac{7}{4} ＞ \cos\frac{5}{3}$。
(2)因为$y = -2\sin x - 1$，所以函数$y = -2\sin x - 1$的递增区间就是函数$y = \sin x$的递减区间，所以$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi(k\in Z)$，所以函数$y = -2\sin x - 1$的递增区间为$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{3\pi}{2} + 2k\pi](k\in Z)$。

对点训练2
比较大小：(1)$\sin 250^{\circ}$与$\sin 260^{\circ}$; (2)$\sin\left(-\frac{23}{5}\pi\right)$与$\sin\left(-\frac{17}{4}\pi\right)$.

答案：
(1)$\sin250^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 70^{\circ}) = -\sin70^{\circ}$，$\sin260^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 80^{\circ}) = -\sin80^{\circ}$，因为$0^{\circ} ＜ 70^{\circ} ＜ 80^{\circ} ＜ 90^{\circ}$，且函数$y = \sin x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]$是增函数，所以$\sin70^{\circ} ＜ \sin80^{\circ}$，所以$-\sin70^{\circ} ＞ -\sin80^{\circ}$，即$\sin250^{\circ} ＞ \sin260^{\circ}$。
(2)$\sin(-\frac{23}{5}\pi) = -\sin\frac{23}{5}\pi = -\sin\frac{3\pi}{5}=-\sin(\pi - \frac{2\pi}{5}) = -\sin\frac{2\pi}{5}$，$\sin(-\frac{17\pi}{4}) = -\sin\frac{17\pi}{4} = -\sin\frac{\pi}{4}$，因为$0 ＜ \frac{\pi}{4} ＜ \frac{2\pi}{5} ＜ \frac{\pi}{2}$，且函数$y = \sin x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]$是增函数，所以$\sin\frac{\pi}{4} ＜ \sin\frac{2\pi}{5}$，所以$-\sin\frac{\pi}{4} ＞ -\sin\frac{2\pi}{5}$，即$\sin(-\frac{23}{5}\pi) ＜ \sin(-\frac{17\pi}{4})$。

例3. 求函数$f(x) = \sin(\pi + x) + \sin^2 x - 1$的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时$x$的值.
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答案： $f(x) = \sin(\pi + x) + \sin^{2}x - 1 = \sin^{2}x - \sin x - 1$，令$t = \sin x$，则$y = t^{2} - t - 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4},t\in[-1,1]$。因为$-1 \leq t \leq 1$，所以$-\frac{5}{4} \leq y \leq 1$，所以$y_{max} = 1$，此时$\sin x = -1,x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi,k\in Z$；所以$y_{min} = -\frac{5}{4}$，此时$\sin x = \frac{1}{2},x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,k\in Z$或$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,k\in Z$。

对点训练3
函数$y = a\sin x + b (a, b \in \mathbf{R})$的最大值为$3$，最小值为$-1$，则$ab$的值为2或 -2.

答案： 2或 -2 当$a ＞ 0$时，因为函数$y = a\sin x + b(a,b\in R)$的最大值为3，最小值为 -1，所以$\begin{cases} a + b = 3 \\ -a + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$，所以$ab = 2$。当$a ＜ 0$时，因为函数$y = a\sin x + b(a,b\in R)$的最大值为3，最小值为 -1，所以$\begin{cases} -a + b = 3 \\ a + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = -2 \\ b = 1 \end{cases}$，所以$ab = -2$。综上，$ab = 2$或$ab = -2$。