《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点 2 复数的相等
将满足条件$0\leq\theta＜2\pi$的辐角值，称为辐角的主值，记作$\arg(z)$，即$0 \leqslant \arg z ＜ 2\pi$. 每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定. 因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
显然，当$a ＞ 0$时，$\arg a = 0$，$\arg(-a) = \pi$，$\arg(ai) = \frac{\pi}{2}$，$\arg(-ai) = \frac{3\pi}{2}$.
如果$z = 0$，那么与它对应的向量$\overrightarrow{OZ}$缩成一个点(零向量)，它的方向是任意的，所以复数$0$的辐角也是任意的.

答案： 知识点2 $0\leq\theta＜2\pi$ $\arg z$ 模 辐角的主值 任意的

知识点 3 复数三角形式的乘法
将复数$z_1,z_2$分别用三角形式表示为$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$.
则：$r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) · r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) =$$r_{1}r_{2}[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})]$.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和.

答案： 知识点3 $r_{1}r_{2}[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})]$ 积 和

知识点 4 复数乘法的几何意义
据此，两个复数$z_1,z_2$相乘时，可以先画出它们分别对应的向量$\overrightarrow{OZ_1},\overrightarrow{OZ_2}$，然后把向量$\overrightarrow{OZ_1}$按逆时针方向旋转一个角$\theta_{2}$（若$\theta_2 ＜ 0$，就要把$\overrightarrow{OZ_1}$绕原点$O$按顺时针方向旋转角$|\theta_2|$），再把它的模变为原来的$r_{2}$倍，所得向量$\overrightarrow{OZ}$就表示复数$z_{1},z_{2}$的乘积（如图）.

答案： 知识点4 $\theta_{1}$ $\theta_{2}$ 复数$z_{1},z_{2}$的乘积

知识点 5 复数三角形式的除法
设$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，且$z_2 \neq 0$，则
$\frac{r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

答案： 知识点5 模 辐角 辐角

例 1. 将下列复数代数式化成三角形式：
(1)$2\sqrt{3} + 2i$；(2)$1 - i$.
【分析】 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式.
▶[归纳提升]
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1) 先求复数的模.
(2) 决定辐角所在的象限.
(3) 根据象限求出辐角.
(4) 求得复数的三角形式.

答案： 例1:
(1)$r=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(2)^{2}}=4$，所以$\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，对应的
点在第一象限，所以$\arg(2\sqrt{3}+2i)=\frac{\pi}{6}$，
所以$2\sqrt{3}+2i=4(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$.
(2)$r=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$，所以$\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
对应的点在第四象限，所以$\arg(1 - i)=\frac{7\pi}{4}$，
所以$1 - i=\sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4})$.