《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 如图所示，$\triangle ABC$中，三边长均不相等，$E,F,D$分别是$AC,AB,BC$的中点.

(1)写出与$\overrightarrow{EF}$共线的向量；
(2)写出与$\overrightarrow{EF}$长度相等的向量；
(3)写出与$\overrightarrow{EF}$相等的向量.
【分析】 (1)共线向量只需在图中找出与线段$EF$平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段$EF$长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段$EF$平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与$\overrightarrow{EF}$的方向相同的向量.

答案： 例3:
(1)$\because$E，F分别是AC，AB的中点，$\therefore EF// BC$，与$\overrightarrow{EF}$共线的向量为$\overrightarrow{FE}$，$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CB}$。
(2)$\because$E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，$\therefore EF=BD=DC$。$\because AB$，$BC$，$AC$均不相等，$\therefore$与$\overrightarrow{EF}$长度相等的向量为$\overrightarrow{FE}$，$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CD}$。
(3)与$\overrightarrow{EF}$相等的向量为$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CD}$。

对点训练 3
(多选)下列说法中正确的是 (CD)

A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.四边形$ABCD$是平行四边形的充要条件$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
D.模为$0$是一个向量的方向是任意的充要条件

答案： 对点训练3:CD 单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故A错误；零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故B错误；若四边形ABCD是平行四边形，则一组对边平行且相等，有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则$AB=DC$，$AB// DC$，则四边形ABCD是平行四边形，故C正确；由零向量的规定，知D正确。故选CD。