《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知$\tan\alpha = 3$,$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$的值为

A.$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$-\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$

答案： 1.A

2. 已知$\tan\alpha = -3$, 则$\frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} =$

A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-\frac{5}{4}$
D.$-\frac{7}{2}$

答案： 2.B

3. 已知$\sin\alpha = -\frac{3}{5}$,$\alpha$为第四象限角，则$\tan\alpha =$

A.$-\frac{4}{3}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$-\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 3.C

4. 化简$\sqrt{1 - \sin^{2}440^{\circ}} =$cos80°.

答案： $4.\cos80°$

5. 求证：$2(1 - \sin\alpha)(1 + \cos\alpha) = (1 - \sin\alpha + \cos\alpha)^{2}$.

答案： 5.【证明】证法一:左边$=2-2\sin \alpha +2\cos \alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =1+\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +2(\cos \alpha -\sin \alpha )=1+2(\cos \alpha -\sin \alpha )+(\cos \alpha -\sin \alpha )^{2} =(1-\sin \alpha +\cos \alpha )^{2} =$右边.
所以原式成立.
证法二:左边$=2-2\sin \alpha +2\cos \alpha -2\sin \alpha \cos \alpha ,$
右边$=1+\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha -2\sin \alpha +2\cos \alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =2-2\sin \alpha +2\cos \alpha -2\sin \alpha \cos \alpha .$故左边=右边.所以原式成立.
证法三:令$1-\sin \alpha =x,\cos \alpha =y,$则$(x-1)^{2} +y^{2} =1,$即$x^{2} +y^{2} =2x.$
故左边$=2x(1+y)=2x+2xy=x^{2} +y^{2} +2xy=(x+y)^{2} =$右边.所以原式成立.

知识点 两角和与差的余弦公式

答案： 知识点 $\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$