《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练2
用弧度制表示顶点在原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.

答案： 对点训练2：
(1)$330°$和$60°$的终边分别对应$-\frac{\pi}{6}$和$\frac{\pi}{3}$，所
表示的区域位于$-\frac{\pi}{6}$与$\frac{\pi}{3}$之间且跨越$x$轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为$\{\theta \mid 2k\pi - \frac{\pi}{6} ＜ \theta ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{3}$, $k \in\mathbf{Z}\}$.
(2)$210°$和$135°$的终边分别对应$-\frac{5\pi}{6}$和$\frac{3\pi}{4}$，所表示的区域位于$-\frac{5\pi}{6}$与$\frac{3\pi}{4}$之间且跨越$x$轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为$\{\theta \mid 2k\pi - \frac{5\pi}{6} ＜ \theta ＜ 2k\pi + \frac{3\pi}{4}$, $k \in \mathbf{Z}\}$.
(3)$30° = \frac{\pi}{6}$,$210° = \frac{7\pi}{6}$，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为$\{\theta \mid 2k\pi ＜ \theta ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{6}$, $k \in \mathbf{Z}\} \cup\{\theta \mid 2k\pi + \pi ＜ \theta ＜ 2k\pi + \frac{7\pi}{6}$, $k \in \mathbf{Z}\} = \{\theta \mid 2k\pi ＜ \theta ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{6}$, $k \in \mathbf{Z}\} \cup\{\theta \mid (2k + 1)\pi ＜ \theta ＜ (2k + 1)\pi + \frac{\pi}{6}$, $k \in \mathbf{Z}\} = \{\theta \mid n\pi ＜ \theta ＜n\pi + \frac{\pi}{6}$,

例 3. (1) 已知扇形$OAB$的圆心角$\alpha$为$120°$，半径长为$6$. 求$\overset{\frown}{AB}$的长.
(2) 已知一扇形的周长为$40 cm$，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[归纳提升]

答案： 例3：
(1)因为扇形$OAB$的圆心角$\alpha$的弧度数为$\frac{2\pi}{3}$,半径为
$6$,所以$\overset{\frown} {AB}$的长为$6 × \frac{2\pi}{3} = 4\pi$.
(2)设扇形的圆心角为$\theta$,半径为$r$,弧长为$l$,面积为$S$,则
$l + 2r = 40$,所以$l = 40 - 2r$.所以$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} × (40 - 2r)r =20r - r^2 = -(r - 10)^2 + 100$.
所以当半径$r = 10 cm$时扇形的面积最大,最大值为$100 cm^2$,此时$\theta = \frac{l}{r} = \frac{40 - 2 × 10}{10} = 2 rad$.
所以当扇形的圆心角为$2 rad$,半径为$10 cm$时,扇形的面积最大为$100 cm^2$.

对点训练3
已知扇形的周长为$8 cm$，圆心角为$2 rad$，则此扇形的面积是 (B)

A.$2 cm^2$
B.$4 cm^2$
C.$6 cm^2$
D.$8 cm^2$

答案： 对点训练3：B 设扇形的半径为$r$,因为扇形的圆心角$\alpha =2 rad$,扇形的周长为$8 cm$,则$2r + 2r = 8$,解得$r = 2$,所以此扇形的面积$S = \frac{1}{2}\alpha r^2 = \frac{1}{2} × 2 × 2^2 = 4 ( cm^2)$.故选B.