《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点3 “五点法”作正弦函数的图象
(1) 五点法作图的一般步骤
列表→描点→连线
(2) 五点法作正弦函数图象的五个关键点
$(0, 0), \left(\frac{\pi}{2}, 1\right), (\pi, 0), \left(\frac{3\pi}{2}, -1\right), (2\pi, 0)$.

答案：
(1)列表→描点→连线；
(2)$(0, 0), \left(\frac{\pi}{2}, 1\right), (\pi, 0), \left(\frac{3\pi}{2}, -1\right), (2\pi, 0)$

例1. 用五点法作出函数$y = 1 - 2\sin x, x \in [-\pi, \pi]$的简图，并回答下列问题：
(1) 观察函数图象，写出满足下列条件的$x$的区间.
①$y ＞ 1$; ②$y ＜ 1$.
(2) 若直线$y = a$与$y = 1 - 2\sin x$有两个交点，求$a$的取值范围；
(3) 求函数$y = 1 - 2\sin x$的最大值，最小值及相应的自变量的值.
▶[归纳提升]

答案：
按五个关键点列表
|x|$-\pi$|$-\frac{\pi}{2}$|0|$\frac{\pi}{2}$|$\pi$|
|----|----|----|----|----|----|
|$\sin x$|0|-1|0|1|0|
|$1 - 2\sin x$|1|3|1|-1|1|
描点连线得：

(1)由图象可知函数$y = 1 - 2\sin x$在$y = 1$上方的部分$y ＞ 1$，在$y = 1$下方的部分$y ＜ 1$，所以当$x\in(-\pi,0)$时，$y ＞ 1$，当$x\in(0,\pi)$时，$y ＜ 1$。
(2)当直线$y = a$与$y = 1 - 2\sin x$有两个交点时，$1 ＜ a ＜ 3$或$-1 ＜ a ＜ 1$，所以$a$的取值范围是$\{a\mid1 ＜ a ＜ 3$或$-1 ＜ a ＜ 1\}$。
(3)由图象可知$y_{max} = 3$，此时$x = -\frac{\pi}{2}$；$y_{min} = -1$，此时$x = \frac{\pi}{2}$。

对点训练1
用“五点法”画出函数$y = \frac{1}{2} + \sin x, x \in [0, 2\pi]$上的图象.

答案：
取值列表如下：
|x|0|$\frac{\pi}{2}$|$\pi$|$\frac{3\pi}{2}$|$2\pi$|
|----|----|----|----|----|----|
|$\sin x$|0|1|0|-1|0|
|$\frac{1}{2} + \sin x$|$\frac{1}{2}$|$\frac{3}{2}$|$\frac{1}{2}$|$-\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$|
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)