《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 1. 将下列角度与弧度进行互化：
(1) $20°$;
(2) $-15°$;
(3) $\frac{7\pi}{12}$;
(4) $-\frac{11}{5}\pi$.

答案： 例1：
(1)$20° = 20 × \frac{\pi}{180} rad = \frac{\pi}{9} rad$.
(2)$-15° = -15 × \frac{\pi}{180} rad = -\frac{\pi}{12} rad$.
(3)$\frac{7}{12}\pi rad = \frac{7}{12} × 180° = 105°$.
(4)$-\frac{11}{5}\pi rad = -\frac{11}{5} × 180° = -396°$.

对点训练1
设$\alpha_1 = -570°, \alpha_2 = 750°, \beta_1 = \frac{3\pi}{5}, \beta_2 = -\frac{\pi}{3}$.
(1) 将$\alpha_1, \alpha_2$用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2) 将$\beta_1, \beta_2$用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限.

答案： 对点训练1：
(1)$\because 180° = \pi rad$,
$\therefore -570° = -\frac{570\pi}{180} = -\frac{19\pi}{6}$,$\therefore \alpha_1 = -\frac{19\pi}{6} = -2 × 2\pi + \frac{5\pi}{6}$,
$\alpha_2 = 750° = \frac{750\pi}{180} = \frac{25\pi}{6} = 2 × 2\pi + \frac{\pi}{6}$,
$\therefore \alpha_1$在第二象限,$\alpha_2$在第一象限.
(2)$\beta_1 = \frac{3\pi}{5} = \frac{3}{5} × 180° = 108°$,
$\beta_2 = -\frac{\pi}{3} = -60°$,$\therefore \beta_1$在第二象限,$\beta_2$在第四象限.

例 2. 用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
【分析】本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.

[归纳提升]

答案： 例2：
(1)$225°$角的终边可以看作是 $-135°$角的终边，化为弧度，即$-\frac{3\pi}{4}$,$60°$角的终边即$\frac{\pi}{3}$的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为$\{\alpha \mid 2k\pi - \frac{3\pi}{4} ＜ \alpha ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{3}$,
$k \in \mathbf{Z}\}$.
(2)与
(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)
的角的集合为$\{\alpha \mid 2k\pi + \frac{\pi}{6} ＜ \alpha ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}\} \cup \{\alpha \mid 2k\pi + \pi + \frac{\pi}{6} ＜ \alpha ＜ 2k\pi + \pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}\} = \{\alpha \mid n\pi + \frac{\pi}{6} ＜ \alpha ＜ n\pi + \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$.