《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例3. 已知点$P(m,1)$是角$\alpha$终边上的一点，且$\sin\alpha=\frac{1}{3}$，则$m$的值为

A.2
B.$-2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{2}$或$2$
D.$-2\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$
【分析】 根据三角函数的定义列方程求得$m$的值.▶[归纳提升]

答案： 例3:D 依题意，$\sin\ \alpha=\frac{1}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{1}{3}$，解得$m=\pm2\sqrt{2}$。故选D。

对点训练3
(1) 已知角$\alpha$的终边经过点$P(1,m)$，且$\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则$\cos\alpha=$
A.$\pm\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$-\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{1}{3}$
(2) 已知角$\alpha$的终边经过点$P(5m,12)$，且$\cos\alpha=-\frac{5}{13}$，则$m=$$-1$.

答案： 对点训练3:
(1)C
(2)-1
(1)由正弦函数的定义得$\sin\ \alpha=\frac{m}{\sqrt{1+m^{2}}}=\frac{-3\sqrt{10}}{10}$，解得$m=-3$，所以$\cos\ \alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
(2)因为$\cos\ \alpha=-\frac{5}{13}$，所以$\frac{-5m}{\sqrt{(5m)^{2}+12^{2}}}=-\frac{5}{13}$，解得$m=-1$。

1. 角$\alpha$的终边上有一点$P(1,-1)$，则$\sin\alpha$的值是

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1$

答案： 1.B 利用三角函数定义知：$\sin\ \alpha=\frac{y}{r}=\frac{-1}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

2. 若$\alpha=\frac{2\pi}{3}$，则$\alpha$的终边与单位圆的交点$P$的坐标是

A.$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
B.$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
C.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
D.$(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

答案： 2.B $P(\cos^{2}\frac{\pi}{3},\sin\frac{2\pi}{3})$，即$P(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

3. 已知角$\alpha$的终边与单位圆的交点为$(-\frac{1}{2},y)(y＜0)$，则$y=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 3.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为$(-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=1$，且$y＜0$，解得$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4. 已知角$\alpha$的终边上一点坐标为$(-3,a)$，且$\alpha$为第二象限角，$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，则$\sin\alpha=$$\frac{4}{5}$.

答案： 4.$\frac{4}{5}$ 由$\cos\ \alpha=-\frac{3}{\sqrt{9+a^{2}}}=-\frac{3}{5}$，得$\sqrt{9+a^{2}}=5$，所以$a^{2}=16$，因为$\alpha$为第二象限角，所以$a＞0$，所以$a=4$，所以$\sin\ \alpha=\frac{4}{5}$

5. 利用定义求$\sin\frac{5\pi}{4},\cos\frac{5\pi}{4},\tan\frac{5\pi}{4}$的值.

答案：
5.如图所示，在坐标系中画出角$\frac{5\pi}{4}$的终边。

设角$\frac{5\pi}{4}$的终边与单位圆的交点为$P$，
则有$P(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
所以$\tan\frac{5\pi}{4}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=1$，$\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$