《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. (1)若$y = \tan(2x - \frac{\pi}{4})$，则该函数定义域为$\left\{x\mid x\neq \frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$；
(2)函数$y = \tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}), x \in (0, \frac{\pi}{6}]$的值域是$(1,\sqrt{3}]$.
【分析】 (1)由$2x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z})$，即可求出结果.
(2)根据$x \in (0, \frac{\pi}{6}]$，求解$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$的范围，结合正切函数的性质可得值域.
▶[归纳提升]
求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证
正切函数$y = \tan x$有意义，即$x \neq \frac{\pi}{2} +$$1$$k\pi , k \in \mathbf{Z}$.

答案： 例1:
(1)$\left\{x\mid x\neq \frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$
(2)$(1,\sqrt{3}]$
(1)因为$y = \tan(2x - \frac{\pi}{4})$，所以$2x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi(k\in \mathbf{Z})$，解得$x \neq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}$，所以该函数定义域为$\left\{x\mid x\neq \frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$。
(2)因为$x\in(0,\frac{\pi}{6}]$，所以$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$，结合正切函数的性质可得：$1 ＜ y \leq \sqrt{3}$。

▶对点训练1
(1)函数$f(x) = \tan 2x$在$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$上的最大值与最小值的差为
A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2$
D.$\frac{2}{3}$
(2)函数$y = \tan^2 x - 2\tan x (|x| \leq \frac{\pi}{3})$的值域为$[-1,3 + 2\sqrt{3}]$

答案： 对点训练1:
(1)A
(2)$[-1,3 + 2\sqrt{3}]$
(1)函数$f(x) = \tan2x$在$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]$上单调递增，可得$f(x)_{\max}=\tan(2×\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$；可得$f(x)_{\min}=\tan(-2×\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}$；所以最大值与最小值的差为$2\sqrt{3}$。
(2)令$u = \tan x$，$\because |x|\leq\frac{\pi}{3}$，$\therefore$由正切函数的图象知$u\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$，$\therefore$原函数可化为$y = u^{2}-2u$，$u\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$，$\because$二次函数$y = u^{2}-2u=(u - 1)^{2}-1$图象开口向上，对称轴方程为$u = 1$，$\therefore$当$u = 1$时，$y_{\min}=-1$，当$u = -\sqrt{3}$时，$y_{\max}=3 + 2\sqrt{3}$，$\therefore$原函数的值域为$[-1,3 + 2\sqrt{3}]$。