《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例3. 已知$x$是实数，$y$是纯虚数，且满足$(3x - 10) + i = y - 3i$,求$x$与$y$.
【分析】因为$y$是纯虚数，所以可设$y = bi(b \in \mathbf{R},b \neq 0)$代入等式，把等式的左、右两边都整理成$a + bi$的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于$x$与$b$的方程组，求解后得$x$与$b$的值.
▶[归纳提升]

答案： 例3:设$y = b\mathrm{i}$($b\in \mathbf{R}$且$b\neq 0$)代入$(3x - 10)+\mathrm{i}=y - 3\mathrm{i}$,整理得$(3x - 10)+\mathrm{i}=b\mathrm{i}-3\mathrm{i}$,由复数相等的充要条件得$\begin{cases}3x - 10 = 0,\\1 = b - 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{10}{3},\\b = 4,\end{cases}$$\therefore x=\frac{10}{3}$,$y = 4\mathrm{i}$.

对点训练3
(1)若$4 - 3a - a^{2}i = a^{2} + 4ai$,则实数$a$的值为 (C)
A.1
B.1或$- 4$
C.$- 4$
D.0或$- 4$

答案： 对点训练3:
(1)C
(1)易知$\begin{cases}4 - 3a = a^{2},\\-a^{2}=4a,\end{cases}$解得$a=-4$.

(2)已知复数$z = (a + 1) - (a^{2} - 1)i$,若$z = 0$,则实数$a$的值为$-1$.

答案： 对点训练3:
(2)$-1$
(2)$\because z = 0$,$\therefore\begin{cases}a + 1 = 0,\\a^{2}-1 = 0,\end{cases}$解得$a=-1$.

1. $(1 + \sqrt{3})i$的实部与虚部分别是 (C)

A.$1,\sqrt{3}$
B.$1 + \sqrt{3},0$
C.$0,1 + \sqrt{3}$
D.$0,(1 + \sqrt{3})i$

答案： 课堂检测 固双基1.C $(1+\sqrt{3})\mathrm{i}$可看作$0+(1+\sqrt{3})\mathrm{i}=a + b\mathrm{i}$,所以实部$a = 0$,虚部$b = 1+\sqrt{3}$.

2. 若复数$z = a^{2} - 4 + (a - 2)i$为纯虚数，则实数$a$的值为 (C)

A.$2$
B.$2$或$- 2$
C.$- 2$
D.$- 4$

答案： 课堂检测 固双基2.C 因为复数$z = a^{2}-4+(a - 2)\mathrm{i}$为纯虚数,则有$\begin{cases}a^{2}-4 = 0,\\a - 2\neq 0,\end{cases}$解得$a=-2$,所以实数$a$的值为$-2$.故选C.

3. 若复数$z = \frac{m(m + 4)}{m - 1} + (m + 2)i$的实部与虚部相等，则实数$m$的值为$-\frac{2}{3}$.

答案： 课堂检测 固双基3.$-\frac{2}{3}$ 由条件知$\frac{m(m + 4)}{m - 1}=m + 2$,$\therefore m^{2}+4m = m^{2}+m - 2$,$\therefore m=-\frac{2}{3}$.

4. 若复数$z = (m + 1) + (m^{2} - 9)i ＜ 0$,则实数$m$的值等于$-3$.

答案： 课堂检测 固双基4.$-3$ $\because z＜0$,$\therefore\begin{cases}m^{2}-9 = 0,\\m + 1＜0,\end{cases}$$\therefore m=-3$.

5. 实数$m$分别取什么数值时，复数$z = (m^{2} + 5m + 6) + (m^{2} - 2m - 15)i$
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是$0$.

答案： 课堂检测 固双基5.由$m^{2}+5m + 6 = 0$得,$m=-2$或$m=-3$,由$m^{2}-2m - 15 = 0$得$m = 5$或$m=-3$.
(1)当$m^{2}-2m - 15 = 0$时,复数$z$为实数,$\therefore m = 5$或$m=-3$.
(2)当$m^{2}-2m - 15\neq 0$时,复数$z$为虚数,$\therefore m\neq 5$且$m\neq - 3$.
(3)当$\begin{cases}m^{2}-2m - 15\neq 0,\\m^{2}+5m + 6 = 0.\end{cases}$时,复数$z$是纯虚数,$\therefore m=-2$.
(4)当$\begin{cases}m^{2}-2m - 15 = 0,\\m^{2}+5m + 6 = 0.\end{cases}$时,复数$z$是$0$,$\therefore m=-3$.