《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点 1 同角三角函数的基本关系式

答案： 知识点1 1 正切

知识点 2 同角三角函数基本关系式的变形公式
$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$的变形公式有：$\sin^{2}\alpha = 1 - \cos^{2}\alpha$;$\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha$.

答案： 上述变形公式正确，是同角三角函数基本关系的重要应用形式。

例 1. (1) 已知$\sin\alpha = \frac{1}{5}$, 求$\cos\alpha$,$\tan\alpha$的值;
(2) 已知$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$, 求$\sin\alpha$,$\tan\alpha$的值.
【分析】已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可.

答案： 例$1:(1)\because \sin \alpha =\frac{1}{5} \gt 0,\therefore \alpha$是第一或第二象限角.
当$\alpha$为第一象限角时，$\cos \alpha =\sqrt{1-\sin^{2} \alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{25} }=$
$\frac{2\sqrt{6} }{5} ,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =\frac{\sqrt{6} }{12 } ;$
当$\alpha$为第二象限角时，$\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{6} }{5} ,\tan \alpha =-\frac{\sqrt{6} }{12 } .$
$(2)\because \cos \alpha =-\frac{3}{5} \lt 0,\therefore \alpha$是第二或第三象限角.
当$\alpha$是第二象限角时，$\sin \alpha \gt 0,\tan \alpha \lt 0,$
$\therefore \sin \alpha =\sqrt{1-\cos^{2} \alpha } =\sqrt{1-(-\frac{3}{5} )^{2} } =\frac{4}{5} ,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =$
$-\frac{4}{3} ;$
当$\alpha$是第三象限角时，$\sin \alpha \lt 0,\tan \alpha \gt 0,$
$\therefore \sin \alpha =-\sqrt{1-\cos^{2} \alpha } =-\sqrt{1-(-\frac{3}{5} )^{2} } =-\frac{4}{5} ,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =$
$\frac{4}{3} .$