《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 化简下列各式：
(1) $\frac{\sqrt{1 - 2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}}{\sin10^{\circ} - \sqrt{1 - \sin^{2}10^{\circ}}}$;
(2) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} · \sqrt{\frac{\tan\alpha - \sin\alpha}{\tan\alpha + \sin\alpha}}$
【分析】(1) 把二次根式中的被开方式化为完全平方式.
(2) 切化弦，将式子统一成正弦、余弦的表达式，再进一步化简.

答案： 例3:
(1)原式$=\frac{\sqrt{(\cos10°-\sin10°)^2} }{\sin10°-\sqrt{\cos^{2}10°} } $
$=\frac{\vert\cos10°-\sin10°\vert}{\sin10°-\cos10°} =\frac{\cos10°-\sin10°}{\sin10°-\cos10°} =-1.$
(2)原式$=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } -\frac{\sin \alpha }{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } +\sin \alpha } $
$=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } · \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha } } $
$=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } · \sqrt{\frac{(1-\cos \alpha )^{2} }{1-\cos^{2} \alpha } } $
$=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } · \frac{1-\cos \alpha }{\vert\sin \alpha \vert } $
$=\pm 1.$

对点训练 3
化简$\cos\alpha\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} + \sin\alpha\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}}\left(\pi ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{2}\right)$得

A.$-\sin\alpha - \cos\alpha - 2$
B.$2 - \sin\alpha - \cos\alpha$
C.$\sin\alpha - \cos\alpha$
D.$\cos\alpha - \sin\alpha$

答案： 对点训练3:A

例 4. 求证：$\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha - \sin\alpha} = \frac{\tan\alpha + \sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}$
【分析】思路一 右式分子分母同乘 由右式向 左式转化
思路二 左右两式切化弦→ 整理化简得证

答案： 例4:【证明】证法一$:\because$右边$=\frac{\tan^{2} \alpha -\sin^{2} \alpha }{(\tan \alpha -\sin \alpha )\tan \alpha \sin \alpha } $
$=\frac{\tan^{2} \alpha -\tan^{2} \alpha \cos^{2} \alpha }{(\tan \alpha -\sin \alpha )\tan \alpha \sin \alpha } $
$=\frac{\tan^{2} \alpha (1-\cos^{2} \alpha )}{(\tan \alpha -\sin \alpha )\tan \alpha \sin \alpha } $
$=\frac{\tan \alpha \sin \alpha }{\tan \alpha -\sin \alpha } =$左边,
$\therefore$原等式成立.
证法二$:\because$左边$=\frac{\tan \alpha \sin \alpha }{\tan \alpha -\tan \alpha \cos \alpha } =\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } ,$
右边$=\frac{\cos \alpha \tan \alpha }{1+\cos \alpha } =\frac{\sin \alpha }{1-\cos^{2} \alpha } =\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } ,$
$\therefore$左边=右边,原等式成立.