《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点$P$与直线$AB$; (2)点$C$与直线$AB$; (3)点$M$与平面$AC$; (4)点$A_1$与平面$AC$; (5)直线$AB$与直线$BC$; $A_1$
(6)直线$AB$与平面$AC$; (7)平面$A_1B$与平面$AC$.
▶[归纳提升]

答案：
(1)点$P\in$直线$AB$；
(2)点$C\notin$直线$AB$；
(3)点$M\in$平面$AC$；
(4)点$A_1\notin$平面$AC$；
(5)直线$AB\cap$直线$BC=$点$B$；
(6)直线$ABC\subset$平面$AC$；
(7)平面$A_1B\cap$平面$AC=$直线$AB$.

对点训练1
(1)若点$M$在直线$a$上,$a$在平面$\alpha$内,则$M$、$a$、$\alpha$间的关系可记为$M\in a,a\subset\alpha,M\in\alpha$;
(2)根据右图,填入相应的符号:$A$$\in$平面$ABC$,$A$$\notin$平面$BCD$,$BD$$\not\subset$平面$ABC$,平面$ABC \cap$平面$ACD$ =$AC$;
(3)用符号语言表示下面语句,并画出图形：三个平面$\alpha$、$\beta$、$\gamma$相交于一点$P$,且平面$\alpha$与平面$\beta$交于$PA$,平面$\alpha$与平面$\gamma$交于$PB$,平面$\beta$与平面$\gamma$交于$PC$.

答案：

(1)$M\in a,a\subset\alpha,M\in\alpha$
(2)$\in \notin \not\subset AC$
(3)见解析
【解析】
(3)符号语言表示:$\alpha\cap\beta\cap\gamma=P,\alpha\cap\beta=PA,\alpha\cap\gamma=PB,\beta\cap\gamma=PC$.图形表示:如图所示.

例2. 已知$\triangle ABC$在平面$\alpha$外,$AB \cap \alpha = P$,$AC \cap \alpha = R$,$BC \cap \alpha = Q$,如图. 求证:$P$,$Q$,$R$三点共线.
【分析】 ①$P$,$Q$,$R$三点分别在哪几个平面上?
②在两个相交平面上的点,有什么特点?

▶[归纳提升]

答案： 【证明】 证法一:$\because AB\cap\alpha=P,\therefore P\in AB,P\in$平面$\alpha$.
又$ABC\subset$平面$ABC,\therefore P\in$平面$ABC$.
$\therefore$由公理3可知:
点$P$在平面$ABC$与平面$\alpha$的交线上，
同理可证$Q,R$也在平面$ABC$与平面$\alpha$的交线上.
$\therefore P,Q,R$三点共线.
证法二:$\because AP\cap AR=A$，
$\therefore$直线$AP$与直线$AR$确定平面$APR$.
又$\because AB\cap\alpha=P,AC\cap\alpha=R$，
$\therefore$平面$APR\cap$平面$\alpha=PR$.
$\because B\in$面$APR,C\in$面$APR,\therefore BC\subset$面$APR$.
又$\because Q\in$面$APR,Q\in\alpha$，
$\therefore Q\in PR.\therefore P,Q,R$三点共线.