《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 正切函数的定义
比值$\frac{y}{x}$ 是 $x$ 的函数，称为 $x$ 的正切函数，记作 $y = \tan x$，其中定义域为$\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}$.

答案： 知识点1 $\frac {\sin x}{\cos x} \begin{cases}x\in \mathbf{R}&x\neq \frac {\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\end{cases}$

知识点2 正切函数的诱导公式
$\tan(k\pi + \alpha) =$$\tan \alpha\ (k \in \mathbf{Z})$
$\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$
$\tan\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) =$
$\tan(-\alpha) =$$-\tan$$\alpha$
$\tan(\pi - \alpha) =$
$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{1}{\tan \alpha}$
其中角 $\alpha$ 可以为使等式两边都有意义的任意角

答案： 知识点2 $\tan\alpha$ $-\tan \alpha$ $-\frac {1}{\tan \alpha}$

例1. 若 $\tan \alpha = \frac{3}{4}$，借助三角函数的定义求角 $\alpha$ 的正弦函数值和余弦函数值.
【分析】由 $\tan \alpha ＞ 0$ 可判断出角 $\alpha$ 所在的象限，然后利用三角函数的定义求 $\sin \alpha$与 $\cos \alpha$.
归纳提升：
(1) 已知角 $\alpha$ 终边上一点 $P(x, y)$，点 $P$到原点 $O$ 的距离 $r =$ $|OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$，则
$\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}$，
$\tan \alpha = \frac{y}{x}$.
(2) 已知角 $\alpha$ 的正切值，在求它的正弦值和余弦值时，要注意对 $\alpha$ 角所在的象限分类讨论.

答案： 例1：因为$\tan \alpha =\frac {3}{4}＞0$,所以,$\alpha$是第一或第三象限的角.
(1)如果$\alpha$是第一象限角,则由$\tan \alpha =\frac {3}{4}$知,角$\alpha$终边上必有一点$P(4,3)$,所以$x=4,y=3$.
因为$r=|OP|=\sqrt {4^{2}+3^{2}}=5$,所以$\sin \alpha =\frac {y}{r}=\frac {3}{5},\cos \alpha =\frac {x}{r}=\frac {4}{5}$.
(2)如果$\alpha$是第三象限的角,则由$\tan \alpha =\frac {3}{4}$可知,角$\alpha$终边上必有一点$P(-4,-3)$,所以$x=-4,y=-3$.
可知$r=|OP|=\sqrt {(-4)^{2}+(-3)^{2}}=5$,
所以$\sin \alpha =\frac {y}{r}=-\frac {3}{5},\cos \alpha =\frac {x}{r}=-\frac {4}{5}$