《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练2
已知角$\alpha$的终边与$-120^{\circ}$角的终边关于$x$轴对称，且$-360^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ}$，求角$\alpha$.

答案：
对点训练2：如图，因为$120^{\circ}$角与$-120^{\circ}$角的终边关于$x$轴对称，所以角$\alpha$的终边与$120^{\circ}$角的终边相同，

所以$\alpha = k · 360^{\circ} + 120^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$.
因为$-360^{\circ} ＜ \alpha ＜ 360^{\circ}$，
所以$-\frac{4}{3} ＜ k ＜ \frac{2}{3}$，所以$k = -1$或$k = 0$，
所以$\alpha = -240^{\circ}$或$\alpha = 120^{\circ}$.

例3.(1)已知$\alpha$为第二象限角，那么$2\alpha,\frac{\alpha}{2}$分别是第几象限角?
(2)已知$\alpha$为第一象限角，求$180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$是第几象限角.
▶[归纳提升]

答案： 例3：
(1)因为$\alpha$是第二象限角，
所以$90^{\circ} + k × 360^{\circ} ＜ \alpha ＜ 180^{\circ} + k × 360^{\circ}$，$180^{\circ} + 2k × 360^{\circ} ＜ 2\alpha ＜ 2 × 180^{\circ} + 2k × 360^{\circ}$，
所以$2\alpha$是第三或第四象限角，或是终边落在$y$轴的非正半轴上的角.同理$45^{\circ} + \frac{k}{2} × 360^{\circ} ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ 90^{\circ} + \frac{k}{2} × 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}$.当$k$为偶数时，不妨令$k = 2n,n \in \mathbf{Z}$，则$45^{\circ} + n × 360^{\circ} ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ 90^{\circ} + n × 360^{\circ}$，此时，$\frac{\alpha}{2}$为第一象限角；
当$k$为奇数时，令$k = 2n + 1,n \in \mathbf{Z}$，则$225^{\circ} + n × 360^{\circ} ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ 270^{\circ} + n × 360^{\circ}$，此时，$\frac{\alpha}{2}$为第三象限角.
所以$\frac{\alpha}{2}$为第一或第三象限角.
(2)因为$\alpha$为第一象限角，所以$k · 360^{\circ} ＜ \alpha ＜ k · 360^{\circ} + 90^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，所以$k · 180^{\circ} ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ k · 180^{\circ} + 45^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，所以$-45^{\circ} - k · 180^{\circ} ＜ - \frac{\alpha}{2} ＜ - k · 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，所以$135^{\circ} - k · 180^{\circ} ＜ 180^{\circ} - \frac{\alpha}{2} ＜ 180^{\circ} - k · 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}$.当$k = 2n(n \in \mathbf{Z})$时，$135^{\circ} - n · 360^{\circ} ＜ 180^{\circ} - \frac{\alpha}{2} ＜ 180^{\circ} - n · 360^{\circ}$，为第二象限角；
当$k = 2n + 1(n \in \mathbf{Z})$时，$-45^{\circ} - n · 360^{\circ} ＜ 180^{\circ} - \frac{\alpha}{2} ＜ -n · 360^{\circ}$，为第四象限角.所以$180^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$是第二或第四象限角.

对点训练3
若$\varphi$是第二象限角，那么$\frac{\varphi}{2}$和$90^{\circ}-\varphi$都不是
(B)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 对点训练3：B
∵$\varphi$是第二象限角，
∴$k · 360^{\circ} + 90^{\circ} ＜ \varphi ＜ k · 360^{\circ} + 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，
∴$k · 180^{\circ} + 45^{\circ} ＜ \frac{\varphi}{2} ＜ k · 180^{\circ} + 90^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，即$\frac{\varphi}{2}$终边是第一或第三象限角，而$-\varphi$显然是第三象限角，
∴$90^{\circ} - \varphi$是第四象限角，故选B.