《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0)$的有关性质

答案： R $\frac{2\pi}{\omega}$ kπ(k∈Z) kπ + $\frac{\pi}{2}$(k∈Z) 单调递增 单调递减

知识点2 函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)$中参数的物理意义
1. 本质：(1)$A$：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅.
(2)$T$：$T = \frac{2\pi}{\omega}$，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期.
(3)$f$：$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率.
(4)$\omega x + \varphi$：称为相位；$\varphi$：当$x = 0$时的相位，称为初相.
2. 混淆：周期$T$与频率$f$的区别和联系，明确二者之间的倒数关系.

答案： 题目中未给出具体问题，无法进行解答。请提供具体题目内容以便作答。

例1. 用“五点法”作函数$y = 2\sin\left( x - \frac{\pi}{3} \right) + 3$的图象，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程.
[归纳提升]：
(1)用“五点法”作$y = A\sin(\omega x + \varphi)$的图象，应先令$\omega x + \varphi$分别为$0$，$\frac{\pi}{2}$，$\pi$，$\frac{3\pi}{2}$，$2\pi$，然后解出自变量$x$的对应值，作出一周期内的图象.
(2)求$y = A\sin(\omega x + \varphi)$的单调区间时，首先把$x$的系数化为正值，然后利用整体代换，把$\omega x + \varphi$代入相应不等式中，求出相应的变量$x$的范围.

答案：
①列表：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \frac{\pi}{3} & \frac{5}{6}\pi & \frac{4}{3}\pi & \frac{11}{6}\pi & \frac{7}{3}\pi \\ \hline x - \frac{\pi}{3} & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3}{2}\pi & 2\pi \\ \hline y & 3 & 5 & 3 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}$
②描点连线作出一周期的函数图象.
③把此图象左、右扩展即得

y = 2sin(x - $\frac{\pi}{3}$) + 3的图象.
由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5],
周期为T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = 2π,频率为f = $\frac{1}{T}$ = $\frac{1}{2\pi}$,初相为φ = - $\frac{\pi}{3}$,最大值为5,最小值为1.
令2kπ - $\frac{\pi}{2}$ ≤ x - $\frac{\pi}{3}$ ≤ 2kπ + $\frac{\pi}{2}$(k∈Z)得原函数的增区间为[2kπ - $\frac{\pi}{6}$,2kπ + $\frac{5\pi}{6}$](k∈Z).
令2kπ + $\frac{\pi}{2}$ ≤ x - $\frac{\pi}{3}$ ≤ 2kπ + $\frac{3\pi}{2}$(k∈Z)得原函数的减区间为[2kπ + $\frac{5\pi}{6}$,2kπ + $\frac{11\pi}{6}$](k∈Z).
令x - $\frac{\pi}{3}$ = kπ + $\frac{\pi}{2}$(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x = kπ + $\frac{5\pi}{6}$(k∈Z).