《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例2. 已知$\boldsymbol { a } = ( \cos \alpha , \sin \alpha ) , \boldsymbol { b } = ( \cos \beta , \sin \beta )$,且$| k \boldsymbol { a } + \boldsymbol { b } | = \sqrt { 3 } | \boldsymbol { a } - k \boldsymbol { b } | ( k ＞ 0 )$.
(1)用 $k$ 表示数量积 $\boldsymbol { a } · \boldsymbol { b }$;
(2)求 $\boldsymbol { a } · \boldsymbol { b }$ 的最小值,并求出此时 $\boldsymbol { a }$ 与 $\boldsymbol { b }$ 的夹角 $\theta$ 的大小.
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答案： 例2:
(1)由$|k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}|\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b}|$,
得$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2=3(\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b})^2$.
$\therefore k^2\boldsymbol{a}^2 + 2k\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2=3\boldsymbol{a}^2-6k\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+3k^2\boldsymbol{b}^2$.
$\therefore(k^2 - 3)\boldsymbol{a}^2+8k\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+(1 - 3k^2)\boldsymbol{b}^2=0$.
$\because|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=1,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{\cos^2\beta+\sin^2\beta}=1$,
$\therefore k^2 - 3+8k\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+1 - 3k^2=0$,
$\therefore\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{2k^2 + 2}{8k}=\frac{k^2 + 1}{4k}(k\gt0)$.
(2)$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{k^2 + 1}{4k}=\frac{1}{4}(k+\frac{1}{k})$.
由对勾函数的单调性可知$f(k)=\frac{1}{4}(k+\frac{1}{k})$在$(0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，
$\therefore$当$k=1$时,$f(k)_{\min}=f(1)=\frac{1}{4}×(1 + 1)=\frac{1}{2}$,
此时$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta$的余弦值$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{1}{2}$,
又$\because0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ},\therefore\theta=60^{\circ}$.

例3. (1)如图,半径为$\sqrt { 3 }$的扇形 $AOB$ 的圆心角为 $1 2 0 ^ { \circ }$,点 $C$ 在$\overset{\frown} {AB}$上,且$\angle C O B = 3 0 ^ { \circ }$,若$\overrightarrow { O C } = \lambda \overrightarrow { O A } + \mu \overrightarrow { O B }$,则 $\lambda + \mu$ 等于
(A)


A.$\sqrt { 3 }$
B.$\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$
C.$\frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$
D.$2 \sqrt { 3 }$

答案：
例3:
(1)A
(1)由题意，得$\angle AOC=90^{\circ}$,故以$O$为坐标原点，$OC,OA$所在直线分别为$x$轴，$y$轴建立平面直角坐标系，
则$O(0,0),A(0,\sqrt{3}),C(\sqrt{3},0)$,
$B(\sqrt{3}\cos30^{\circ},-\sqrt{3}\sin30^{\circ})$,
因为$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$,
所以$(\sqrt{3},0)=\lambda(0,\sqrt{3})+\mu(\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2},-\sqrt{3}×\frac{1}{2})$,
即$\begin{cases}\sqrt{3}=\mu×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2},\\0=\sqrt{3}\lambda-\sqrt{3}×\frac{1}{2}\mu,\end{cases}$则$\begin{cases}\mu=\frac{2\sqrt{3}}{3},\\\lambda=\frac{\sqrt{3}}{3},\end{cases}$所以$\lambda+\mu=\sqrt{3}$.