《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. 已知$\triangle ABC$的三个顶点$A(0, -4)$，$B(4,0)$，$C(-6,2)$，点$D$，$E$，$F$分别为边$BC$，$CA$，$AB$的中点.
(1)求直线$DE$，$EF$，$FD$的方程；
(2)求$AB$边上的高线$CH$所在的直线方程.
[归纳提升]

答案： 例1:
(1)由已知得点$D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2)$,设$M(x,y)$是直线DE上任意一点,则$\overrightarrow{DM}//\overrightarrow{DE}$.
$\overrightarrow{DM}=(x + 1,y - 1),\overrightarrow{DE}=(-2,-2)$,
$\therefore(-2)×(x + 1)-(-2)×(y - 1)=0$,即$x - y + 2 = 0$为直线DE的方程.
同理可求,直线EF,FD的方程分别为$x + 5y + 8 = 0,x + y = 0$.
(2)设点$N(x,y)$是CH所在直线上任意一点,则$\overrightarrow{CN}\perp\overrightarrow{AB}$.
$\therefore\overrightarrow{CN}·\overrightarrow{AB}=0$.
又$\overrightarrow{CN}=(x + 6,y - 2),\overrightarrow{AB}=(4,4)$,
$\therefore4(x + 6)+4(y - 2)=0$,
$\therefore x + y + 4 = 0$为所求直线CH的方程.

对点训练1
在$\triangle ABC$中，$A(4,1)$，$B(7,5)$，$C(-4,7)$，求角$A$的平分线所在的直线方程.

答案： 对点训练1:$\overrightarrow{AB}=(3,4),\overrightarrow{AC}=(-8,6)$,
角A的平分线的一个方向向量为
$a=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$
$=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})+(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})=(-\frac{1}{5},\frac{7}{5})$
设$P(x,y)$是角平分线上的任意一点,
$\because$角A的平分线过点A,
$\therefore\overrightarrow{AP}// a$,又$\overrightarrow{AP}=(x - 4,y - 1)$,
$\therefore$所求直线方程为$-\frac{1}{5}(y - 1)-\frac{7}{5}(x - 4)=0$.
整理得$7x + y - 29 = 0$.