《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练2
如图,正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,对角线$A_1C$与平面$BDC_1$交于点$O$,$AC$,$BD$交于点$M$,求证:$C_1$、$O$、$M$三点共线.

答案： 【证明】 由$AA_1// CC_1$，则$AA_1$与$CC_1$确定一个平面$A_1C$.
$\because A_1C\subset$平面$A_1C$，而$O\in A_1C,\therefore O\in$平面$A_1C$；
又$A_1C\cap$平面$BC_1D_1=O,\therefore O\in$平面$BC_1D$.
$\therefore O$点在平面$BC_1D$与平面$A_1C$的交线上.
又$AC\cap BD=M,\therefore M\in$平面$BC_1D$且$M\in$平面$A_1C$.
又$C_1\in$平面$BC_1D$且$C_1\in$平面$A_1C$，
$\therefore$平面$A_1C\cap$平面$BC_1D=C_1M,\therefore O\in C_1M$，即$C_1,O,M$三点共线.

例3. 已知直线$a//b$,直线$l$与$a$,$b$都相交,求证:过$a$,$b$,$l$有且只有一个平面.

答案：
【证明】 如图所示.

由已知$a// b$，所以过$a,b$有且只有一个平面$\alpha$.设$a\cap l=A$，$b\cap l=B,\therefore A\in\alpha,B\in\alpha$，且$A\in l,B\in l,\therefore l\subset\alpha$.即过$a,b,l$有且只有一个平面.

▶[归纳提升]
对点训练3
已知:如图所示,$l_1 \cap l_2 = A$,$l_2 \cap l_3 = B$,$l_1 \cap l_3 = C$. 求证:直线$l_1$,$l_2$,$l_3$在同一平面内.

答案： 【证明】 证法一(纳入法):$\because l_1\cap l_2=A,\therefore l_1$和$l_2$确定一个平面$\alpha$.
$\because l_1\cap l_3=B,\therefore B\in l_2$.
又$\because l_2\subset\alpha,\therefore B\in\alpha$.同理可证$C\in\alpha$.
又$\because B\in l_3,C\in l_3,\therefore l_3\subset\alpha$.
$\therefore$直线$l_1,l_2,l_3$在同一平面内.
证法二(同一法、重合法):$\because l_1\cap l_2=A$，
$\therefore l_1,l_2$确定一个平面$\alpha$.
$\because l_2\cap l_3=B,\therefore l_2,l_3$确定一个平面$\beta$.
$\because A\in l_2,l_2\subset\alpha,\therefore A\in\alpha$.
$\because A\in l_2,l_2\subset\beta,\therefore A\in\beta$.
同理可证$B\in\alpha,B\in\beta,C\in\alpha,C\in\beta$.
$\therefore$不共线的三个点$A,B,C$在平面$\alpha$内，又在平面$\beta$内.
$\therefore$平面$\alpha$和$\beta$重合，即直线$l_1,l_2,l_3$在同一平面内.