《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练 1
把下列复数表示成三角形式.
(1)$z_1 = -1 + \sqrt{3}i$；
(2)$z_2 = -4i$.

答案： 对点训练1:
(1)由$a = - 1$，$b=\sqrt{3}$，知点$Z_{1}(-1,\sqrt{3})$在第二
象限，故辐角为第二象限的角.
$r=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$.
又$\cos \theta=-\frac{1}{2}$，所以$\arg z_{1}=\frac{2\pi}{3}$.
因此复数$z_{1}=-1+\sqrt{3}i$的三角形式为
$z_{1}=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$.
(2)由$a = 0$，$b = - 4＜0$，知
$r=\sqrt{0^{2}+(-4)^{2}}=4$，$\arg z_{2}=\frac{3\pi}{2}$，
因此复数$z_{2}=-4i$的三角形式为
$z_{2}=4(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})$.

例 2. 将下列复数表示成代数形式：
(1)$9(\cos\pi + i\sin\pi)$；(2)$6(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3})$.
【分析】 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.

答案： 例2:
(1)$9(\cos \pi+i\sin \pi)=-9$.
(2)$6(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=6(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=-3 - 3\sqrt{3}i$.

对点训练 2
将复数$z = \sqrt{2}[\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})]$化为代数形式为$1 - i$.

答案： 对点训练2:$1 - i=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}×\cos\frac{\pi}{4}-i\sqrt{2}×\sin\frac{\pi}{4}=1 - i$.

例 3. 计算：
(1)$2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) × \sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$；
(2)$2(\cos5^{\circ} + i\sin5^{\circ}) × 4(\cos30^{\circ} + i\sin30^{\circ}) × \frac{1}{2} × (\cos25^{\circ} + i\sin25^{\circ})$.
【分析】 按照复数三角形式的乘法法则进行.

答案： 例3:
(1)$2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})×\sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})$
$=2\sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2})=-2\sqrt{3}i$.
(2)$2(\cos 5^{\circ}+i\sin 5^{\circ})×4(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ})×\frac{1}{2}(\cos 25^{\circ}+i\sin 25^{\circ})=8(\cos 35^{\circ}+i\sin 35^{\circ})×\frac{1}{2}(\cos 25^{\circ}+i\sin 25^{\circ})=$
$4(\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ})=2 + 2\sqrt{3}i$.

对点训练 3
计算：$(\sqrt{3} + i)(\cos60^{\circ} + i\sin60^{\circ}) =$$2i$.

答案： 对点训练3:$2i$ 方法一:$(\sqrt{3}+i)(\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ})$
$=2(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ})(\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ})$
$=2(\cos 90^{\circ}+i\sin 90^{\circ})=2i$.
方法二:$(\sqrt{3}+i)(\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ})=(\sqrt{3}+i)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}=2i$.

例 4. 计算：$8(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) ÷ [4(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})]$.
【分析】 根据复数三角形式的除法法则进行.

答案： 例4:$8(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})÷[4(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})]$
$=2(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=-\sqrt{3}+i$.

对点训练 4
计算：$2i ÷ [\frac{1}{2}(\cos30^{\circ} + i\sin30^{\circ})]$.

答案： 对点训练4:$2i÷[\frac{1}{2}(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ})]$
$=2(\cos 90^{\circ}+i\sin 90^{\circ})÷[\frac{1}{2}(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ})]$
$=4(\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ})=2 + 2\sqrt{3}i$.

▶[归纳提升]
直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.

答案： ▶[归纳提升]
直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.