《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 1. 在$\triangle ABC$中，已知$A = 60^{\circ}$，$B = 45^{\circ}$，$c = 2$，求$\triangle ABC$中其他边与角的大小. $\left(\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)$
【分析】已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边.
▶[归纳提升]

答案： 例 1:在$\triangle ABC$中,$C=180^{\circ}-(A + B)=180^{\circ}-(60^{\circ}+45^{\circ})$ $=75^{\circ}$. 根据正弦定理,得$a=\frac {c\sin A}{\sin C}$=$\frac {2\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$=$\frac {2×\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {2}(\sqrt {3}+1)}{4}}$= $\frac {\sqrt {6}(\sqrt {3}-1)}{(\sqrt {3}-1)(\sqrt {3}+1)}$=$3\sqrt {2}-\sqrt {6}$, $b=\frac {c\sin B}{\sin C}$=$\frac {2\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$=$\frac {2×\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2}(\sqrt {3}+1)}{4}}$=$2(\sqrt {3}-1)$.

对点训练 1
(1)在$\triangle ABC$中，已知$a = 8$，$B = 60^{\circ}$，$C = 75^{\circ}$，则$b$等于 (A)
A. $4\sqrt{6}$
B. $4\sqrt{5}$
C. $4\sqrt{3}$
D. $\frac{22}{3}$
(2)在$\triangle ABC$中，$B = 45^{\circ}$，$C = 60^{\circ}$，$c = 1$，则

最

短边的边长等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： 对点训练 1:
(1)$A\frac {\sqrt {6}}{3}$
(2)$\frac {\sqrt {2}} {3}$或$2\sqrt {2}-2$
(1)$A=180^{\circ}-B - C=45^{\circ}$, 由正弦定理得$\frac {a}{\sin A}$=$\frac {b}{\sin B}$, $\therefore b=\frac {a\sin B}{\sin A}$=$\frac {8×\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}$=$4\sqrt {6}$.
(2)由题意,因为$B=45^{\circ}$,$C=60^{\circ}$,所以$A=180^{\circ}-B - C$ $=75^{\circ}$, 最短边为$b$,由正弦定理, 得$b=\frac {c\sin B}{\sin C}$=$\frac {1×\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}$=$\frac {\sqrt {6}}{3}$.

例 2. 已知在$\triangle ABC$中，$a = 2\sqrt{3}$，$b = 6$，$A = 30^{\circ}$，求$\triangle ABC$中其他边与角的大小.
【分析】在$\triangle ABC$中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.
▶[归纳提升]

答案： 例 2:$\because A$为锐角,$b\sin A=6\sin 30^{\circ}=3＜a＜b$,$\therefore$本题有 两解, $\because\sin B=\frac {b\sin A}{a}$=$\frac {\sqrt {3}}{2}$, $\therefore B=60^{\circ}$或$120^{\circ}$, 当$B=60^{\circ}$时,$C=90^{\circ}$,$c=\frac {a\sin C}{\sin A}$=$\frac {2\sqrt {3}\sin 90^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$=$4\sqrt {3}$; 当$B=120^{\circ}$时,$C=30^{\circ}$,$c=\frac {a\sin C}{\sin A}$=$\frac {2\sqrt {3}\sin 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$=$2\sqrt {3}$; 综上,$B=60^{\circ}$,$C=90^{\circ}$,$c=4\sqrt {3}$或$B=120^{\circ}$,$C=30^{\circ}$,$c=2\sqrt {3}$. ![img alt=图片编号或题号(此处为例2之后的图片内容，无具体题号关联，按规则表示)]

对点训练 2
(1)在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = \sqrt{2}$，$b = 2$，$\sin B+\cos B = \sqrt{2}$，则角$A$的大小为$\frac{\pi}{6}$.
(2)在$\triangle ABC$中，若$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$，$B = \frac{\pi}{4}$，则$A =$$\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$.

答案： 对点训练 2:
(1)$\frac {\pi}{6}$
(2)$\frac {\pi}{3}$或$\frac {2\pi}{3}$
(1)由$\sin B+\cos B=\sqrt {2}$,得$\sin(B+\frac {\pi}{4})=1$,由$B\in(0,\pi)$,得$B=\frac {\pi}{4}$, 由正弦定理,$\frac {a}{\sin A}$=$\frac {b}{\sin B}$,得$\sin A=\frac {a\sin B}{b}$=$\frac {1}{2}$,又$a＜b$,所 以$A=\frac {\pi}{6}$.
(2)由正弦定理,$\sin A=\frac {a\sin B}{b}$=$\frac {\sqrt {3}×\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {2}}$=$\frac {\sqrt {3}}{2}$, 又$A\in(0,\pi)$,$a＞b$,$\therefore A＞B$,$\therefore A=\frac {\pi}{3}$或$\frac {2\pi}{3}$.