《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. 已知表示电流强度$I$与时间$t$的函数关系式$I = A\sin(\omega t + \varphi)(A ＞ 0, \omega ＞ 0)$.
(1) 若电流强度$I$与时间$t$的函数关系图象如图所示，试根据图象写出$I = A\sin(\omega t + \varphi)$的解析式；
(2) 为了使$I = A\sin(\omega t + \varphi)(A ＞ 0, \omega ＞ 0, |\varphi| ＜ \frac{\pi}{2})$中$t$在任意一段$\frac{1}{100}$秒的时间内电流强度$I$能同时取得最大值$A$与最小值$-A$，那么正整数$\omega$的最小值是多少?
【分析】 对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数$A, \omega, \varphi$的值即可. 其中$A$可由最大值与最小值确定，$\omega$可由周期确定，$\varphi$可通过特殊点的坐标，解方程求得. 对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.

►[归纳提升]
对点训练1
本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当$t = 10$秒时的电流强度$I$应为多少?

答案： 例1:
(1)由题图知,$A = 300$,$T = \frac{1}{60} - ( - \frac{1}{300} ) = \frac{1}{50}$,$\therefore \omega = \frac{2\pi}{T} = 100\pi$。
$\because ( - \frac{1}{300},0 )$是该函数图象的第一个零点，$\therefore - \frac{\varphi}{\omega} = - \frac{1}{300}$，$\therefore \varphi = \frac{\omega}{300} = \frac{\pi}{3}$，符合$| \varphi | ＜ \frac{\pi}{2}$，$\therefore I = 300\sin( 100\pi t + \frac{\pi}{3} )(t \geq 0 )$。
(2)问题等价于$T \leq \frac{1}{100}$，即$\frac{2\pi}{\omega} \leq \frac{1}{100}$，$\therefore \omega \geq 200\pi$，$\therefore$正整数$\omega$的最小值为629。
对点训练1:由例1
(1)可得$I = 300\sin( 100\pi t + \frac{\pi}{3} )( t \geq 0 )$，将$t = 10$秒代入可得，$I = 150\sqrt{3}$安培。

例2. 如图，一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点$P$在风车的最低点，求：
(1) 点$P$离地面距离$h$(米)与时间$t$(分钟)之间的函数关系式；
(2) 在第一圈的什么时间段点$P$离地面的高度超过14米?

►[归纳提升]

答案： 例2:
(1)设$h(t) = A\sin( \omega t + \varphi ) + b$，由题意得$A = 8$，$T = 12$，$b = 10$；则$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{6}$，当$t = 0$时，$h = 2$，即$\sin\varphi = - 1$，因此，$\varphi = - \frac{\pi}{2}$。故$h(t) = 8\sin( \frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{2} ) + 10$，$t \geq 0$。
(2)由题意$h(t) ＞ 14$，即$8\sin( \frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{2} ) + 10 ＞ 14$，则$\cos\frac{\pi}{6}t ＜ - \frac{1}{2}$。
又因为$0 \leq t \leq 12$，$\frac{2\pi}{3} ＜ \frac{\pi}{6}t ＜ \frac{4\pi}{3}$，所以$4 ＜ t ＜ 8$。
故在第一圈$4 ＜ t ＜ 8$时点$P$离地面的高度超过14米。