《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练1
给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数$z = 3m + 2ni$,则其实部与虚部分别为$3m,2n$；③在复数$z = x + yi(x,y \in \mathbf{R})$中，若$x \neq 0$,则复数$z$一定不是纯虚数；④若$a \in \mathbf{R},a \neq 0$,则$(a + 3)i$是纯虚数.其中正确的说法的序号是③.

答案： 对点训练1:③ ①错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.②错,只有当$m$,$n\in \mathbf{R}$时,才能说复数$z = 3m + 2n\mathrm{i}$的实部与虚部分别为$3m$,$2n$.③正确,复数$z = x + y\mathrm{i}$($x$,$y\in \mathbf{R}$)为纯虚数的条件是$x = 0$且$y\neq 0$,只要$x\neq 0$,则复数$z$一定不是纯虚数.④错,只有当$a\in \mathbf{R}$,且$a\neq - 3$时,$(a + 3)\mathrm{i}$才是纯虚数.

例2. 已知复数$z = (m^{2} - 2m) + \frac{m^{2} - 2m - 8}{m}i$,其中$m \in \mathbf{R}$.试求当$m$为何值时，
(1)$z$是实数？(2)$z$是虚数？(3)$z$是纯虚数？
【分析】根据复数分类的标准及条件，建立关于实数$m$的方程或不等式(组)，求解$m$满足的条件.
▶[归纳提升]

答案： 例2:
(1)当$z$是实数时,应有$\frac{m^{2}-2m - 8}{m}= 0$，即$\begin{cases}m^{2}-2m - 8 = 0,\\m\neq 0,\end{cases}$解得$m = 4$或$m=-2$.
(2)当$z$是虚数时,应满足$\frac{m^{2}-2m - 8}{m}\neq 0$，即$\begin{cases}m^{2}-2m - 8\neq 0,\\m\neq 0,\end{cases}$因此$m\neq 4$,且$m\neq - 2$,且$m\neq 0$.
(3)当$z$是纯虚数时,应满足$\begin{cases}m^{2}-2m = 0,\frac{m^{2}-2m - 8}{m}\neq 0,\end{cases}$解得$m = 2$.

对点训练2
实数$m$取何值时，复平面内表示复数$z = (m^{2} - m - 6) + (m^{2} + 5m + 6)i$的点.
(1)是实数；(2)是纯虚数.

答案： 对点训练2:
(1)$z=(m^{2}-m - 6)+(m^{2}+5m + 6)\mathrm{i}$是实数,则$m^{2}+5m + 6 = 0$,解得$m=-2$或$m=-3$.
(2)$z=(m^{2}-m - 6)+(m^{2}+5m + 6)\mathrm{i}$是纯虚数,则$\begin{cases}m^{2}-m - 6 = 0,\\m^{2}+5m + 6\neq 0,\end{cases}$解得$m = 3$.