《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. 某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数可以是下列中的 (C)

A.$y = 0.2\sin 10t + 3.8$
B.$y = 3.8\sin\frac{\pi}{5}t + 0.2$
C.$y = 0.2\sin(\frac{\pi}{5}t + \varphi) + 3.8$
D.$y = 3.8\sin 10t + 0.2$

答案： 2.$C$ 设所求函数为$y = A\sin( \omega t + \varphi ) + b$，依题意得$T = 10$，$\omega = \frac{\pi}{5}$，$A = 0.2$，$b = 3.8$，所以解析式可以为$y = 0.2\sin( \frac{\pi}{5}t + \varphi ) + 3.8$，故选$C$。

3. 某人的血压满足函数式$f(t) = 24\sin(160\pi t) + 110$，其中$f(t)$为血压，$t$为时间，则此人每分钟心跳的次数为 (C)

A.60
B.70
C.80
D.90

答案： 3.$C$ 由于$\omega = 160\pi$，故函数的周期$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{80}$，所以$f = \frac{1}{T} = 80$，即每分钟心跳的次数为80。故选$C$。

4. 如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数$y = A\sin(\omega x + \varphi) + b$.
(1) 这一天的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度；
(2) 这段曲线的函数解析式为$y = 10\sin( \frac{\pi}{6}x + \frac{\pi}{6} ) + 40$，$x \in [ 8,14 ]$.

答案： 4.
(1)50 30
(2)$y = 10\sin( \frac{\pi}{6}x + \frac{\pi}{6} ) + 40$，$x \in [ 8,14 ]$
【解析】
(2)由图知，$b = 40$，$A = 10$，$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2 · ( 14 - 8 )} = \frac{\pi}{6}$，$\therefore y = 10\sin( \frac{\pi}{6}x + \varphi ) + 40$，又$x = 8$时，$y = 30$，$\therefore \sin( \frac{4\pi}{3} + \varphi ) = - 1$，$\therefore \varphi = \frac{\pi}{6}$。