《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

3. (2025·山东烟台)如图，$BD$是矩形$ABCD$的对角线。请按以下要求解决问题：
(1) 利用尺规作$\triangle BED$，使$\triangle BED$与$\triangle BCD$关于直线$BD$成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）。
(2) 在(1)的条件下，若$BE$交$AD$于点$F$，$AB = 1$，$BC = 2$，求$AF$的长。

答案：
3.尺规作图+矩形的性质+勾股定理
　　解:
(1)作图如下.
　　　　　　　　　
[解题过程]以点D为圆心，DC长为半径作弧，再以点B为圆心，BC长为半径作弧,两弧交于点E,连接DE,BE,△BED 即为所求.
(2)
∵△BCD与△BED关于直线BD对称，
∴∠CBD=∠DBF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°,AD=BC=2,AD//BC.
∴∠CBD=∠FDB,
∴∠DBF=∠FDB.
∴FB=FD.设AF=x,则BF=DF=AD−AF=2−x.
　　在Rt△ABF中,由勾股定理可得$BF^{2}=AB^{2}+AF^{2}$，
　　即$(2-x)^{2}=1^{2}+x^{2}$，
　　解得$x=\frac{3}{4}$，即AF的长为$\frac{3}{4}$.

4. (2025·新疆)如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$BD$是对角线。
(1) 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段$BD$的垂直平分线，垂足为点$O$，与边$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）。
(2) 在(1)的条件下，连接$BE$，$DF$，求证：四边形$BFDE$为菱形。

答案：
4.尺规作图+平行线的性质+线段垂直平分线的性质+菱形的判定
　　解:
(1)如图，直线EF即为所求.

(2)证明:如图，
∵直线EF是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE,BF=DF,OB=OD.
∵AD//BC,
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO.
∴△ODE≌△OBF(AAS).
∴DE=BF.
∴BE=DE=BF=DF.
∴四边形BFDE为菱形.