《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

7. (2025·福建)在平面直角坐标系中,二次函数$ y = ax^2 + bx - 2 $的图象过点$ A(1,t),B(2,t) $.
(1)求$ \dfrac{b}{a} $的值.
(2)已知二次函数$ y = ax^2 + bx - 2 $的最大值为$ 1 - \dfrac{3}{4}a^2 $.
(ⅰ)求该二次函数的表达式.
(ⅱ)若$ M(x_1,m),N(x_2,m) $为该二次函数图象上的不同两点,且$ m \neq 0 $,求证:$ \dfrac{(x_1 - 1)^2}{m} = \dfrac{x_2 - 2}{x_1 - 2} $.

答案： 7.二次函数的图象与性质
解:
(1)二次函数y=ax²+bx−2的图象的对称轴为x=−$\frac{b}{2a}$.因为点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上，所以2−(−$\frac{b}{2a}$)=−$\frac{b}{2a}$−1(提示:点A，B关于抛物线的对称轴对称).所以−$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$.所以$\frac{b}{a}$=−3.
(2)(i)由
(1)可得,b=−3a,所以该函数的表达式为y=ax²−3ax−2.函数图象的顶点坐标为($\frac{3}{2}$,$-\frac{9}{4}$a−2).因为函数的最大值为1−$\frac{3}{4}$a²,所以a＜0,且−$\frac{9}{4}$a−2=1−$\frac{3}{4}$a²(提示:根据函数图象的顶点纵坐标即为函数最大值列出关于a的方程).解得a=−1,或a=4(舍去).所以该二次函数的表达式为y=−x²+3x−2.
(ii)因为点M(x₁,m)在函数y=−x²+3x−2的图象上，所以m=−x₁²+3x₁−2.由(i)知,点M(x₁,m),N(x₂,m)关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，不妨设x₁＜x₂,则x₂−$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$−x₁,即x₁+x₂=3.所以$\frac{(x₁−1)²}{m}$−$\frac{x₂−2}{x₁−2}$=$\frac{(x₁−1)²(x₁−2)−m(x₂−2)}{m(x₁−2)}$=$\frac{(x₁²−3x₁+2)(x₁−1)−m(x₂−2)}{m(x₁−2)}$=$\frac{−m(x₁−1)−m(x₂−2)}{m(x₁−2)}$=$\frac{−m(x₁+x₂−3)}{m(x₁−2)}$=0.所以$\frac{(x₁−1)²}{m}$=$\frac{x₂−2}{x₁−2}$.