《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

3.(2025·湖北)抛物线$ y = \frac{1}{2}x^2 - x + c $与$ x $轴相交于点$ A(-1,0) $和点$ B $,与$ y $轴相交于点$ C $,$ T $是抛物线的顶点,$ P $是抛物线上一动点,设点$ P $的横坐标为$ t $.
(1)求$ c $的值.
(2)如图,若点$ P $在对称轴左侧,过点$ P $作对称轴的垂线,垂足为$ H $,求$\frac{PH^2}{TH}$的值.
(3)定义:抛物线上两点$ M $,$ N $之间的部分叫做抛物线弧$ MN $(含端点$ M $和$ N $).过$ M $,$ N $分别作$ x $轴的垂线$ l_1 $,$ l_2 $,过抛物线弧$ MN $的最高点和最低点分别作$ y $轴的垂线$ l_3 $,$ l_4 $,直线$ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $与$ l_4 $围成的矩形叫做抛物线弧$ MN $的特征矩形.若点$ P $在第四象限,记抛物线弧$ CP $的特征矩形的周长为$ f $.
①求$ f $关于$ t $的函数解析式.
②过点$ P $作$ PQ // x $轴,交抛物线于点$ Q $,点$ Q $与点$ C $不重合.记抛物线弧$ CQ $的特征矩形的周长为$ g $.若$ f + g = \frac{11}{2} $,直接写出$ PQ $的长.

答案： 3.新定义+二次函数的图象与性质
解:
(1)将A(−1,0)的坐标代入抛物线解析式，
得$\frac{1}{2}-(-1)+c = 0$，
解得c = −$\frac{3}{2}$.
(2)由y=$\frac{1}{2}$x²−x−$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$(x−1)²−2,
得T(1，−2)(提示:用配方法求出顶点T的坐标).
因为P(t,$\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$),其中t＜1,
所以PH²=(t−1)²(提示:PH²等于点P与点H的横坐标之差的平方)，
TH = ($\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$)−(−2)=$\frac{1}{2}$t²−t+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$(t−1)².
所以$\frac{PH^{2}}{TH}=\frac{(t - 1)^{2}}{\frac{1}{2}(t - 1)^{2}} = 2$.
(3)①因为点P在第四象限的抛物线上，
所以P(t,$\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$),0＜t＜3.
又因为C(0,−$\frac{3}{2}$),T(1,−2)，则：
当0＜t≤1时，f = 2t + 2[(-$\frac{3}{2}$)-($\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$)] = -t²+4t；
当1＜t≤2时，f = 2t + 2[(-$\frac{3}{2}$)-(-2)] = 2t + 1；
当2＜t＜3时，f = 2t + 2[($\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$)-(-2)] = t²+1.
综上所述，f = $\begin{cases}-t^{2}+4t,0\lt t\leq1;\\2t + 1,1\lt t\leq2;\\t^{2}+1,2\lt t\lt3.\end{cases}$(注：这一步没写不扣分)
②$\sqrt{2}$或$\sqrt{17}$−2.
[解题过程]因为PQ//x轴，
所以P，Q关于抛物线的对称轴对称.
所以点Q(2 - t,$\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$).
当0＜t≤1时，抛物线弧CQ的最高点为点C，最低点为点T，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为2 - t和−$\frac{3}{2}$-(-2)=$\frac{1}{2}$(提示:点C，T的纵坐标之差).
所以g = 2(2 - t+$\frac{1}{2}$) = 5 - 2t.
因为f + g = $\frac{11}{2}$，
所以 -t²+4t + 5 - 2t = $\frac{11}{2}$，
解得t₁=$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$(舍去)，t₂=$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.
所以PQ = 2 - t - t = 2 - 2t = $\sqrt{2}$.
当1＜t＜2时，抛物线弧CQ的最高点为点C，最低点为点Q，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为2 - t和−$\frac{3}{2}$-($\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$) = −$\frac{1}{2}$t²+t，
所以g = 2(2 - t - $\frac{1}{2}$t²+t) = -t²+4.
因为f + g = $\frac{11}{2}$，
所以2t + 1 - t²+4 = $\frac{11}{2}$，
解得t₁=$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$,t₂=$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$(舍去).
所以PQ = t - 2 + t = 2t - 2 = $\sqrt{2}$.
当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为点Q，最低点为点C，
此时特征矩形的两条邻边的长分别为t - 2和$\frac{1}{2}$t²−t−$\frac{3}{2}$-(-$\frac{3}{2}$) = $\frac{1}{2}$t²−t，
所以g = 2($\frac{1}{2}$t²−t + t - 2) = t²-4.
因为f + g = $\frac{11}{2}$，
所以t²+1 + t²-4 = $\frac{11}{2}$，
解得t₁=−$\frac{\sqrt{17}}{2}$(舍去)，t₂=$\frac{\sqrt{17}}{2}$
所以PQ = t - 2 + t = 2t - 2 = $\sqrt{17}$−2.
综上所述，PQ的长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{17}$−2.