《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

9. (2025·江苏扬州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$ y = -x^2 - 2x + 3 $的图象(记为$ G_1 $)与$ x $轴交于点$ A,B $,与$ y $轴交于点$ C $,二次函数$ y = x^2 + bx + c $的图象(记为$ G_2 $)经过点$ A,C $.直线$ x = t $与两个图象$ G_1,G_2 $分别交于点$ M,N $,与$ x $轴交于点$ P $.

(1)求$ b,c $的值.
(2)当点$ P $在线段$ AO $上时,求$ MN $的最大值.
(3)设点$ M,N $到直线$ AC $的距离分别为$ m,n $.当$ m + n = 4 $时,对应的$ t $值有2个;当$ m - n = 3 $时,对应的$ t $值有0个;当$ mn = 2 $时,对应的$ t $值有4个;当$ \dfrac{m}{n} = 1 $时,对应的$ t $值有无数个.

答案：
9.待定系数法求二次函数的表达式+二次函数的图象与性质+一元二次方程根的判别式+等腰直角三角形的判定与性质
解:
(1)对于二次函数y=−x²−2x+3,当y=0时,−x²−2x+3=0,解得x₁=−3,x₂=1,
∴A(−3,0),B(1,0).当x=0时,y=3,
∴C(0,3).
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A,C,
∴$\begin{cases}c=3, \\ 9-3b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=4, \\ c=3.\end{cases}$
(2)由
(1)知G₂的表达式为y=x²+4x+3.
∵直线x=t与x轴垂直,
∴M(t,−t²−2t+3),N(t,t²+4t+3).
∴MN=yM−yN =−t²−2t+3−(t²+4t+3)=−2t²−6t =−2(t+$\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{2}$(−3≤t≤0).
∵−2＜0,
∴当t=−$\frac{3}{2}$时,MN取得最大值$\frac{9}{2}$.
(3)2 0 4 无数.
[解题过程]
[第1步,作MT⊥AC,NS⊥AC,记直线x=t与直线AC交于点E，求直线AC的表达式，得点E的坐标，从而表示出ME,NE]如图，过点M作MT⊥AC于点T,过点N作NS⊥AC于点S (巧作辅助线:作垂线，构造等腰直角三角形，为求m,n做准备)，记直线x=t与直线AC交于点E.
　　　　　　　
设直线AC的表达式为y=px+q,分别将点A(−3,0),C(0,3)的坐标代入上式，得$\begin{cases}-3p+q=0, \\ q=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=1, \\ q=3.\end{cases}$
∴直线AC的表达式为y=x+3.
∴E(t,t+3).
∴ME=|yM−yE|=|t²+3t|,NE=|yN−yE|=|t²+3t|.
[第2步，证明△AOC,△MET,△NES均为等腰直角三角形，据此可表示出m,n]
∵A(−3,0),C(0,3),
∴OA=OC.又∠AOC=90°,
∴△AOC为等腰直角三角形.
∴∠OAC=45°.
∵MN⊥x轴,
∴∠MET=∠AEP=45°.
∵MT⊥AC,NS⊥AC,
∴△MET,△NES均为等腰直角三角形.
∴ME=$\sqrt{MT²+ET²}$=$\sqrt{2}$MT,即m=MT=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|.同理可得,n=NS=$\frac{\sqrt{2}}{2}$NE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|.
[第3步,分别表示出m十n,m一n,mn,结合题意与一元二次方程根的判别式求t值的个数，由m=n可知当t≠0且t≠−3时，$\frac{m}{n}$=1恒成立,可得出对应的t值的个数]
∴m+n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|+$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|=√2|t²+3t|.当m十n=4时,$\sqrt{2}$|t²+3t|=4,
∴$\sqrt{2}$t²+3$\sqrt{2}$t−4=0或√2t²+3$\sqrt{2}$t+4=0.对于$\sqrt{2}$t²+3$\sqrt{2}$t−4=0,△＞0,方程有2个不相等的实数根(关键:△＜0⇔方程没有实数根;△=0⇔方程有2个相等的实数根;△＞0⇔方程有2个不相等的实数根)，对于$\sqrt{2}$t²+3$\sqrt{2}$t+4=0,△＜0,方程无实数根，
∴当m十n=4时，对应的t值有2个.
∵m−n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|−$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|=0≠3,
∴当m一n=3时，不存在实数根，即对应的t值有0个.
∵mn=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|·$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|=$\frac{1}{2}$(t²+3t)²,
∴当mn=2时，$\frac{1}{2}$(t²+3t)²=2.
∴t²+3t−2=0或t²+3t+2=0.对于t²+3t−2=0,△＞0,方程有2个不相等的实数根，对于t²+3t+2=0,△＞0,方程有2个不相等的实数根，
∴当mn=2时，对应的t值有4个.
∵m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|t²+3t|,
∴当t≠0且t≠−3时，$\frac{m}{n}$=1恒成立.
∴当$\frac{m}{n}$=1时，对应的t值有无数个.
方法技巧
抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的基本性质及其图象特征
(1)开口方向确定a的取值范围，对称轴确定b的取值范围，与y轴的交点确定c的取值范围，顶点坐标确定函数的最大值或最小值；
(2)与x轴的交点可结合根的判别式和根与系数的关系解决问题，对称轴可结合点的坐标代换线段的数量关系，求线段的长；
(3)函数的增减性可判断函数值的大小，根据对称轴左侧或右侧的点到对称轴的距离比较函数值的大小.