《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

5.(2025·四川凉山州)如图,一次函数$ y_1 = ax + b $的图象与反比例函数$ y_2 = \frac{k}{x} $ ($ x ＞ 0 $)的图象交于点$ A(6,1) $,$ B(2,m) $.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)利用图象,直接写出不等式$ ax + b ＞ \frac{k}{x} $的解集为$2＜x＜6$.
(3)在x轴上找一点C,使$ \triangle ABC $的周长最小,并求出最小值.

答案：
5.待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式+一次函数与反比例函数的图象+最短路径问题
解:
(1)$\because$反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过A$(6,1)$，
$\therefore1=\frac{k}{6}$，解得$k = 6$.
$\therefore$反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}(x＞0)$.
在$y_2=\frac{6}{x}(x＞0)$中，当$x = 2$时，$y_2=\frac{6}{2}=3$，
$\therefore B(2,3)$.
$\because$一次函数$y_1=ax + b$的图象过点A$(6,1)$，B$(2,3)$，
$\therefore\begin{cases}6a + b = 1\\2a + b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b = 4\end{cases}$
$\therefore$一次函数解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x + 4$.
(2)$2＜x＜6$.
[解题过程]由函数图象可知，当一次函数$y_1=-\frac{1}{2}x + 4$的图象在反比例函数$y_2=\frac{6}{x}(x＞0)$图象的上方时，自变量的取值范围为$2＜x＜6$，
$\therefore$不等式$ax + b＞\frac{k}{x}$的解集为$2＜x＜6$.
(3)[第1步，确定当$\triangle ABC$周长最小时，点C的位置，并求出最值]
如图，作点B关于$x$轴的对称点D，连接$AC$，$BC$，$CD$，$AD$(巧作辅助线:作对称点，构造相等线段，为结合两点间线段最短求线段和的最小值做准备)，
则$D(2,-3)$，由轴对称的性质可得$DC = BC$.
$\because A(6,1)$，$B(2,3)$，
$\therefore AB=\sqrt{(6 - 2)^2+(3 - 1)^2}=2\sqrt{5}$.
$\therefore\triangle ABC$的周长为$AC + BC + AB=AC + BC + 2\sqrt{5}=AC + DC + 2\sqrt{5}\geqslant AD + 2\sqrt{5}$(提示:两点间线段最短).
$\therefore$当$A$，$C$，$D$三点共线时，$\triangle ABC$的周长有最小值，最小值为$AD + 2\sqrt{5}$.
$\because A(6,1)$，$D(2,-3)$，
$\therefore AD=\sqrt{(6 - 2)^2+(3 + 1)^2}=4\sqrt{2}$.
$\therefore\triangle ABC$的周长的最小值为$4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.
[第2步，待定系数法求直线AD的解析式，从而可得点C的坐标]
设直线AD的解析式为$y = k_1x + b_1$，
则$\begin{cases}6k_1 + b_1 = 1\\2k_1 + b_1 = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = 1\\b_1 = -5\end{cases}$
$\therefore$直线AD的解析式为$y = x - 5$.
在$y = x - 5$中，当$y = 0$时，$x = 5$，
$\therefore C(5,0)$.
综上，当点C的坐标为$(5,0)$时，$\triangle ABC$的周长有最小值，最小值为$4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.