《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. (2024·四川泸州)如图,在平面直角坐标系$ xOy $中,已知抛物线$ y = ax^2 + bx + 3 $经过点$ A(3,0) $,与$ y $轴交于点$ B $,且关于直线$ x = 1 $对称.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)当$ -1 \leq x \leq t $时,$ y $的取值范围是$ 0 \leq y \leq 2t - 1 $,求$ t $的值.
(3)点$ C $是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点$ C $作$ x $轴的垂线交直线$ AB $于点$ D $,在$ y $轴上是否存在点$ E $,使得以$ B,C,D,E $为顶点的四边形是菱形? 若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.

答案：
1.二次函数的综合应用+菱形的性质
[思维导图]
(3)点A,B坐标→直线AB的解析式→设点C 坐标→点D坐标→CD,BD→根据BC,BD分别为菱形的对角线分类讨论→求得x的值→菱形边长.
解:
(1)
∵A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线和x轴的另外一个交点为(-1,0)，
则抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax²−2ax−3a=ax²+bx+3,
解得a=−1,b=2,
则抛物线的解析式为y=−x²+2x+3.
(2)y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,顶点坐标为(1,4),当x=−1时,y=0,
对t的取值分类讨论:
①当−1＜t≤1时,即当x=t时,y=2t−1,
即2t−1=−t²+2t+3,
解得t=±2,
∵−1＜t≤1,
∴均不符合题意，舍去.
②当t＞1时,y=2t−1=4,
解得t=2.5,
综上,t=2.5.
(3)存在.
由抛物线的解析式知点B(0,3)，由点A(3,0),B(0,3)得，直线AB的解析式为y=−x+3
设点C(x,−x²+2x+3),0＜x＜3,
则点D(x,−x+3),
则CD=−x²+2x+3−(−x+3)=−x²+3x,BD=√2x,
①如图，当BC为菱形对角线时(关键:明确需要分类讨论的情况),对应菱形为BDCE'，则BD=CD,
∴−x²+3x=√2x,
解得x=3−√2或x=0(舍去),
则BD=√2x=3√2−2,
即菱形的边长为3√2−2.

②如图，当BD为菱形的对角线时，对应菱形为BCDE，
则CD=BC,
∴−x²+3x=√x²+(−x²+2x)²,
解得x=2或x=0(舍去),
则CD=−x²+3x=−2²+3×2=2,
即菱形的边长为2.
综上，菱形的边长为3√2−2或2.