《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

6. [2025·山东(临沂、济宁等地)]已知二次函数$ y = x(x - a) + (x - a)(x - b) + x(x - b) $,其中$ a,b $为两个不相等的实数.
(1)当$ a = 0,b = 3 $时,求此函数图象的对称轴.
(2)当$ b = 2a $时,若该函数在$ 0 \leq x \leq 1 $时,$ y $随$ x $的增大而减小;在$ 3 \leq x \leq 4 $时,$ y $随$ x $的增大而增大,求$ a $的取值范围.
(3)若点$ A(a,y_1),B\left( \dfrac{a + b}{2},y_2 \right),C(b,y_3) $均在该函数的图象上,是否存在常数$ m $,使得$ y_1 + my_2 + y_3 = 0 $?若存在,求出$ m $的值;若不存在,说明理由.

答案： 6.二次函数的图象与性质
解:
(1)当a=0,b=3时,y=x(x−0)+(x−0)(x−3)+x(x−3)=3x²−6x,
∴此函数图象的对称轴为x=−$\frac{−6}{2×3}$=1.
(2)[第1步，根据对称轴公式求出对称轴]当b=2a时,y=x(x−a)+(x−a)(x−2a)+x(x−2a)=3x²−6ax+2a²,
∴抛物线的对称轴为x=−$\frac{−6a}{2×3}$=a.
[第2步，根据二次函数的增减性求出a的取值范围]
∵3＞0,
∴抛物线开口方向向上.
∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∴a≥1.
∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴a≤3(提示:抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而增大).
∴1≤a≤3.
(3)存在.
[第1步，代入横坐标,分别求出y₁,y₂,y₃]
∵点A(a,y₁),B($\frac{a+b}{2}$,y₂),C(b,y₃)均在该函数的图象上,
∴y₁=a(a−a)+(a−a)(a−b)+a(a−b)=a²−ab,y₃=b(b−a)+(b−a)(b−b)+b(b−b)=b²−ab.
∵y=x(x−a)+(x−a)(x−b)+x(x−b)=3x²−2(a+b)x+ab,
∴y₂=3($\frac{a+b}{2}$)²−2(a+b)($\frac{a+b}{2}$)+ab =3×$\frac{(a+b)²}{4}$−(a+b)²+ab =−$\frac{(a+b)²}{4}$+ab =−$\frac{1}{4}$a²−$\frac{ab}{2}$−$\frac{1}{4}$b²+ab =−$\frac{1}{4}$a²+$\frac{ab}{2}$−$\frac{1}{4}$b² =−$\frac{1}{4}$(a²−2ab+b²)=−$\frac{1}{4}$(a−b)².
[第2步,把y₁,y₂,y₃代入y₁+my₂+y₃=0,整理后求出m的值]
∵y₁+my₂+y₃=0,
∴a²−ab+m[−$\frac{1}{4}$(a−b)²]+b²−ab=0,整理得(a−b)²(1−$\frac{1}{4}$m)=0.
∵a,b为两个不相等的实数，
∴a−b≠0.
∴1−$\frac{1}{4}$m=0,解得m=4.