《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

(2025·河南师大附中三模)如图,四边形$ABCD$中,$BC = CD$,且$\angle BAC = \angle DAC = 45°$,连接$AC$,$BD$.若$AC = 4$,则四边形$ABCD$的面积为8, $BD$的最小值为4。

答案：
8 4[解析]角平分线的性质+正方形的判定与性质+全等三角形的判定与性质
[第1步，作CM⊥AB，CN⊥AD，根据三个角是直角且一组邻边相等证明四边形AMCN是正方形]
如图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，作CN⊥AD于点N(巧作辅助线:作垂线，构造正方形)。
∵∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠BAD=90°，AC是∠BAD的平分线。
∴∠M=∠ANC=∠BAD=90°，CM=CN(提示:角平分线上的点到角两边的距离相等)。
∴四边形AMCN是正方形(提示:有三个角是直角的四边形是矩形，一组邻边相等的矩形是正方形)。
[第2步，利用“HL”证明Rt△BCM≌Rt△DCN，将四边形ABCD的面积转换为正方形AMCN的面积，从而求出四边形ABCD的面积]
∵CM=CN，BC=CD，
∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)。
∴S四边形ABCD=S正方形AMCN(方法:运用割补法转换图形面积)。
∵AC=4，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$。
∴S正方形AMCN=(2$\sqrt{2}$)²=8。
∴四边形ABCD的面积为8。
[第3步，利用对角互补证明A,B,C,D四点共圆，根据三角形三边关系即可求出BD的最小值]
∵∠MCN=90°(提示:正方形的内角为90°)，∠BCM=∠DCN(提示:全等三角形的对应角相等)，
∴∠DCN+∠BCN=∠BCM+∠BCN=90°。
∴∠BCD=90°。
又
∵∠BAD=90°，
∴A,B,C,D四点在以BD为直径的圆上。
如图，设圆心为O，连接OA，OC，易知OA=OB，OC=OD，
∴BD=OA+OC≥AC。
∴BD的最小值是4。

难点突破
割补法求面积
四边形ABCD是不规则四边形，通过作垂线，证明三角形全等，将其转换为规则图形(正方形)，根据对角线AC的长求出面积。
利用圆的性质求最值
根据圆的半径将BD转换为OA + OC，利用三角形的三边关系确定其大于或等于AC，根据弦AC的长度可确定BD的最小值。