《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2. (2025·四川南充嘉陵二诊)在平面直角坐标系中,二次函数的图象与$ x $轴交于$ A $和$ B(1,0) $两点,与$ y $轴相交于点$ C $,且顶点$ D(-1,4) $,$ P $是抛物线上一动点.
(1)求二次函数的解析式.
(2)如图1,连接$ BC $,若$ \angle PBC = 45° $,求点$ P $的坐标.
(3)如图2,过点$ P $作$ PQ // AC $交抛物线于点$ Q $,以$ P,Q,D $为顶点的三角形是否存在直角三角形,若存在,求出点$ P $的坐标;若不存在,通过计算说明.

答案：
2.待定系数法求二次函数的解析式+一次函数与二次函数的综合+全等三角形的判定与性质+勾股定理的逆定理
解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)²+4(a≠0)。
∵抛物线经过点B(1,0)，
∴a(1+1)²+4=0，解得a=−1。
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)²+4，
即y=−x²−2x+3。
(2)如图，将CB以C为旋转中心顺时针旋转90°到CB'，连接BB'交抛物线于点P，过点C作MN//x轴，且BN⊥MN，B'M⊥MN(巧作辅助线:通过作辅助线，构造出全等三角形的“一线三垂直”模型)。
　　　　　　　　
∴∠PBC=45°。
令−x²−2x+3=0，解得x1=−3，x2=1，
∴A(−3,0)，B(1,0)。
∵当x=0时，y=3，
∴C(0,3)。
易得△MB'C≌△NCB(AAS)，得NB=MC=yc−yB=3，CN=B'M=xB−xc=1，
∴B'(−3,2)。
设直线BB'的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将点B，B'的坐标代入得$\begin{cases}k+b=0\\-3k+b=2\end{cases}$，
解得k=−$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$。
∴直线BB'的解析式为y=−$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$。
联立$\begin{cases}y=−\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\y=−x²−2x+3\end{cases}$，整理得2x²+3x−5=0，
解得x1=−$\frac{5}{2}$，x2=1(舍去)。
当x=−$\frac{5}{2}$时，y=−$\frac{1}{2}$×(−$\frac{5}{2}$)+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴P(−$\frac{5}{2}$,$\frac{7}{4}$)。
(3)[第1步，当∠PDQ=90°时，设直线PD的解析式为y=k1(x+1)+4，直线QD的解析式为y=k2(x+1)+4，通过和抛物线解析式联立，用xp表示k1，用xQ表示k2]
①当∠PDQ=90°时，
设直线PD的解析式为y=k1(x+1)+4，直线QD的解析式为y=k2(x+1)+4，
联立$\begin{cases}y=k1(x+1)+4\\y=−x²−2x+3\end{cases}$，整理得x²+(k1+2)x+k1+1=0，
∴xp+xD=−k1−2，xp·xD=k1+1。
∴xp−1=−k1−2。
∴k1=−xp−1。
同理可得k2=−xQ−1。
[第2步，由∠PDQ=90°得k1·k2=−1，进而得到xp，xQ的关系式]
∵∠PDQ=90°，
∴直线PD与x轴夹角的正切值等于直线DQ与x轴夹角的正切值的倒数。
∴$\frac{yD−yP}{xD−xP}=\frac{xQ−xD}{yD−yQ}$，即k1=−$\frac{1}{k2}$。
∴k1·k2=−1。
∴(−xp−1)(−xQ−1)=−1，
即xp·xQ+xp+xQ+2=0。
[第3步，设直线PQ的解析式为y=x十b，运用xp，xQ的关系式求出b的值]
∵PQ//AC，
∴设直线PQ的解析式为y=x+b。
联立$\begin{cases}y=x+b\\y=−x²−2x+3\end{cases}$，整理得x²+3x+b−3=0，
∴xp+xQ=−3，xp·xQ=b−3。
∴b−3+(−3)+2=0，解得b=4。
∴直线PQ的解析式为y=x+4。
[第4步，联立直线PQ的解析式和二次函数的解析式，解方程组求出符合要求的点P的坐标]
联立$\begin{cases}y=x+4\\y=−x²−2x+3\end{cases}$，整理得x²+3x+1=0，
解得x1=$\frac{−3+\sqrt{5}}{2}$，x2=$\frac{−3−\sqrt{5}}{2}$。
当点P在点Q的左侧时，xp=x2=$\frac{−3−\sqrt{5}}{2}$，
∴yp=$\frac{−3−\sqrt{5}}{2}$+4=$\frac{5−\sqrt{5}}{2}$(提示:P,Q两点位置可以互换)。
∴P($\frac{−3−\sqrt{5}}{2}$,$\frac{5−\sqrt{5}}{2}$)。
当点P在点Q的右侧时，xp=x1=$\frac{−3+\sqrt{5}}{2}$，
∴yp=$\frac{−3+\sqrt{5}}{2}$+4=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$。
∴P($\frac{−3+\sqrt{5}}{2}$,$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$)。
[第5步，当∠PQD=90°时，由点的坐标求出DC²，AC²，AD²，根据勾股定理的逆定理，判定∠ACD=90°，说明此种情况不存在]
②当∠PQD=90°时，
由
(1)知，顶点D(−1,4)，C(0,3)，A(−3,0)，
则DC²=[0−(−1)]²+(4−3)²=2，
AC²=3²+3²=18，
AD²=(−1+3)²+(4−0)²=20，
∴AD²=AC²+CD²(提醒:C,Q,D三点都在抛物线上，不可能在同一条直线上，故PQ与AC重合)。
∴此时△ACD为直角三角形，即∠ACD=90°。
[第6步，分析∠PQD=90°的情况]
若∠PQD=90°，此时PQ与AC重合，不符合题意，舍去。
[第7步，得结论]
综上，当P($\frac{−3−\sqrt{5}}{2}$,$\frac{5−\sqrt{5}}{2}$)或P($\frac{−3+\sqrt{5}}{2}$,$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$)时，以P,Q，D为顶点的三角形是直角三角形。