《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

9.(2025·四川南充)已知直线$ y = m(x + 1)(m \neq 0) $与直线$ y = n(x - 2)(n \neq 0) $的交点在$ y $轴上,则$ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $的值是.

答案： $-\frac{5}{2}$

1.(2024·江苏扬州)如图,已知一次函数$ y = kx + b(k \neq 0) $的图象分别与$ x,y $轴交于$ A,B $两点,若$ OA = 2,OB = 1 $,则关于$ x $的方程$ kx + b = 0 $的解为x = -2.

答案： 1.x = -2 [解析]一次函数与一元一次方程的关系　由题知，A(-2,0)，
∴关于x的方程kx + b = 0的解是x = -2.

2.(2025·北京)在平面直角坐标系$ xOy $中,函数$ y = kx + b(k \neq 0) $的图象经过点$ (1,3) $和$ (2,5) $.
(1)求$ k,b $的值.
(2)当$ x ＜ 1 $时,对于$ x $的每一个值,函数$ y = mx(m \neq 0) $的值既小于函数$ y = kx + b $的值,也小于函数$ y = x + k $的值,直接写出$ m $的取值范围.

答案：
2.待定系数法求一次函数解析式+一次函数的图象与性质
解:
(1)将点(1,3)和(2,5)的坐标分别代入y = kx + b(k ≠ 0)，得$\begin{cases}k + b = 3,\\2k + b = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = 1.\end{cases}$
(2)2 ≤ m ≤ 3.
[解题过程]由
(1)可得函数y = kx + b(k ≠ 0)的解析式为y = 2x + 1，函数y = x + k的解析式为y = x + 2.
如图，当直线y = mx过点(1,3)时，满足题意，则m = 3.
当直线y = mx与直线y = 2x + 1平行时，满足题意，则m = 2.结合图象可得2 ≤ m ≤ 3.

方法技巧
一次函数与方程组、不等式的关系
已知两个一次函数y = mx + n(m ≠ 0)，y = ax + b(a ≠ 0)，如图.
(1)联立两函数解析式得出方程组$\begin{cases}y = mx + n,\\y = ax + b.\end{cases}$
(2)解方程组得出交点A的坐标，即A(x_A,y_A).
(3)以交点A的横坐标x_A为临界值，图象在上方，则函数值大，即当x ＞ x_A时，mx + n ＞ ax + b，当x ＜ x_A时，mx + n ＜ ax + b，当x = x_A时，mx + n = ax + b.

(2024·四川凉山州)如图,一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(3,6)$,$B(0,3)$两点,交$x$轴于点$C$,则$\triangle AOC$的面积为9.

答案：
9 【解析】一次函数的图象与性质+三角形的面积公式 如图，过点A作AM⊥x轴于点M，
∵一次函数y=kx+b经过点A(3,6)，B(0,3)，
∴$\begin{cases}3k + b = 6,\\b = 3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\b = 3.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为y=x+3，令y=0，则x+3=0，解得x=-3，即点C的坐标为(-3,0)。
∴OC=3。又AM=6，
∴$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OC· AM=\frac{1}{2}×3×6=9$，即△AOC的面积为9。

1.(2025·四川德阳)中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序。数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元。
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元。
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A，B两种型号挂面共40袋。在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元。

答案： 1.二元一次方程组的应用+一元一次不等式的应用+一次函数的应用
解:
(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元.
则$\begin{cases}2x + 2y = 100,\\3x + 2y = 120.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 20,\\y = 30.\end{cases}$
答:A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元.
(2)设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为(40 - a)袋，总费用为w元.
$(40 - a) × 20 + 30a \leq 950$.
解得$a \leq 15$.
又$\because a \geq 10$，
$\therefore 10 \leq a \leq 15$(易错：忽略a的取值范围).
又$\because a$为正整数，
$\therefore a = 10,11,12,13,14,15$.
$w = (40 - a) × 20 + 30a = 10a + 800$.
$\because 10 ＞ 0$，
$\therefore w$随a的增大而增大.
$\therefore a = 10$时，w有最小值，最小值为$10 × 10 + 800 = 900$(元).
答:共有6种购买方案，最低费用为900元.