《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

8. (2025·江苏苏州)如图,一次函数$ y = 2x + 4 $的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $的图象交于点D,连接CD.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)若$ \triangle BCD $是以BD为底边的等腰三角形,求k的值.

答案：
8.一次函数与反比例函数的综合+等腰三角形的性质
解:
(1)令$y=0$,则$2x+4=0$.解得$x=-2$.
∴点A的坐标为(-2,0).
令$x=0$,则$y=4$.
∴点B的坐标为(0,4).
(2)解法一:如图,过点C作CE⊥BD,垂足为E(巧作辅助线:作垂线,由等腰三角形“三线合一”的性质证明BE=DE),
∵CB=CD,CE⊥BD,
∴BE=DE.
根据题意,得点D的坐标为$(\frac{1}{4}k,4)$,
∴点C的坐标为$(\frac{1}{8}k,8)$(提醒:点C与点D横、纵坐标之积均为k).
∵点C在一次函数$y=2x+4$的图象上,
∴$\frac{1}{4}k+4=8$.
∴$k=16$.

解法二:如图,过点C作CE⊥BD,垂足为E,
∵CB=CD,CE⊥BD,
∴BE=DE.
设BE=DE=a,则点C的坐标为(a,2a+4),点D的坐标为(2a,4)(提醒:引入参数a,表示C,D坐标,由C,D点都在反比例函数图象上求解).
∵点C,D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0,x＞0)$的图象上,
∴$a(2a+4)=2a × 4$.
解得$a=2$,或$a=0$(舍去).
∴点C的坐标为(2,8).
∴$k=16$.

9. (2025·安徽)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数$ y = ax + 4(a \neq 0) $与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $的图象交于A,B两点.已知点A和B的横坐标分别为6和2.
(1)求a与k的值.
(2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C,D,求$ \triangle COD $的面积.

答案： 9.待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式+三角形的面积公式
解:
(1)由题意得,$\begin{cases}6a+4=\frac{k}{6}, \\2a+4=\frac{k}{2}, \end{cases}$
解得$a=-\frac{1}{2}$,$k=6$.
(2)由
(1)知直线AB对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$.
令$y=0$,得$x=8$,所以$OC=8$.
令$x=0$,得$y=4$,所以$OD=4$.
故△COD的面积为$\frac{1}{2}OC · OD=\frac{1}{2} × 8 × 4=16$.