《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

3. (2025·四川广安)如图,二次函数$ y = \frac{1}{3}x^2 + bx + c $($ b,c $为常数)的图象交$ x $轴于$ A,B $两点,交$ y $轴于点$ C $,已知点$ B $的坐标为$ (9,0) $,点$ C $的坐标为$ (0,-3) $,连接$ AC,BC $.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点$ P $为抛物线上的一个动点,连接$ PC $,当$ \angle PCB = \angle OBC $时,求点$ P $的坐标.
(3)将抛物线沿射线$ CA $的方向平移$ 2\sqrt{10} $个单位长度后得到新抛物线,点$ E $在新抛物线上,点$ F $是原抛物线对称轴上的一点,若以点$ B,C,E,F $为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$ E $的坐标.
备用图

答案：
3.二次函数综合题
解:
(1)将B(9,0)和C(0,−3)的坐标代入y=1/3x²+bx+c
得{27+9b+c=0,
解得{b=−8/3,
c=−3,
∴抛物线的解析式为y=1/3x²−8/3x−3.
(2)[第1步，当点P在x轴下方时，由已知条件得CP//AB,得点P纵坐标，代入抛物线解析式即可求得点P的坐标]
①当点P在x轴下方时(如图1)，

∵∠PCB=∠OBC,
∴CP//AB.
∴点P的纵坐标等于−3.
将y=−3代入y=1/3x²−8/3x−3,
解得x₁=0,x₂=8.
∴点P的坐标为(8,−3).
[第2步，当点P在x轴上方时，由等腰三角形的判定得BM=CM,设OM=m,借助勾股定理建立方程求得点M的坐标]
②当点P在x轴上方时，PC与AB相交于点M(如图2)，

∵∠PCB=∠OBC,
∴BM=CM;
∵B(9,0),C(0,−3),
∴OB=9,OC=3.
设OM=m,则CM=BM=9−m.
在Rt△COM中,CO²+OM²=CM²,
∴3²+m²=(9−m)²,解得m=4.
∴点M的坐标为(4,0).
[第3步,由待定系数法求直线CP的解析式,与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标]
设直线CP的解析式为y=kx+n,
将M(4,0)和C(0,−3)的坐标代入得{4k+n=0,
解得{k=3/4,
n=−3,
∴直线CP的解析式为y=3/4x−3.
由题意得1/3x²−8/3x−3=3/4x−3,
解得x₁=0,x₂=41/4,
∴点P的坐标为(41/4,75/16).
综上所述,点P的坐标为(8,−3)或(41/4,75/16).
(3)点E的坐标为(−5,14)或(5,2/3)或(13,38).
[解题过程]
[第1步，根据平移规律求新抛物线的解析式]
由
(1)可得原抛物线对称轴为x=4,
∵B(9,0),
∴A(−1,0).
∴OA=1.
∵C(0,−3),
∴OC=3.
∴AC=√OA²+OC²=√10
∵将抛物线沿射线CA的方向平移2√10个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个单位长度得到新抛物线.
∴新抛物线解析式为y=1/3(x+2)²−8/3(x+2)−3+6=1/3x²−4/3x−1.
[第2步，由平行四边形的性质分三种情况，根据中点坐标公式求得点E坐标]
设E(xE,yE),当BE为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BE,CF的中点坐标相同.
∴(xE+9)/2=(0+4)/2，
∴xE=−5.
∴yE=1/3×(−5)²−4/3×(−5)−1=14.
∴此时点E的坐标为(−5,14).
当BC为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BC,EF的中点坐标相同.
∴(xE+4)/2=(9+0)/2，
∴xE=5.
∴yE=1/3×5²−4/3×5−1=2/3.
∴此时点E的坐标为(5,2/3).
当BF为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BF,CE的中点坐标相同.
∴(xE+0)/2=(9+4)/2，
∴xE=13.
∴yE=1/3×13²−4/3×13−1=38.
∴此时点E的坐标为(13,38).
综上所述,点E的坐标为(−5,14)或(5,2/3)或(13,38).
(说明:如果考生有其他不同的解法，只要方法正确，过程合理，答案正确均可得分).