《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

10. (2025·山西)如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴交于点A,B,与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象交于点C.已知点A的坐标为$ (-2,0) $,点C的坐标为$ (1,6) $,点D在反比例函数$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象上,纵坐标为2.
(1)求反比例函数的表达式,并直接写出点B的坐标.
(2)连接BD,OD,请直接写出四边形ABDO的面积.

答案： 10.反比例函数的图象与性质+三角形的面积公式
解:
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点C(1,6),
∴$6=\frac{k}{1}$.
∴$k=6$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$
点B的坐标为(0,4).
(2)10.
【解题过程】
∵点D在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,且纵坐标为2,
∴$2=\frac{6}{x}$,解得$x=3$.
∴点D的坐标为(3,2).
∴$S_{四边形ABDO}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2} × 2 × 4+\frac{1}{2} × 3 × 4=4+6=10$,
即四边形ABDO的面积为10.

11. (2025·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线$ y = -x + b $与反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象的一个交点为$ A(a,2) $,与x轴的交点为$ B(3,0) $.
(1)求k的值.
(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若$ \angle ACD = 90° $,求直线AD的函数表达式.
(3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A),连接BE,若$ \triangle BEP $的面积为2,求点E的坐标.

答案： 11.待定系数法求函数的表达式+一次函数与反比例函数的综合
解:
(1)
∵直线$y=-x+b$与x轴的交点为B(3,0),
∴$0=-3+b$,解得$b=3$.
∴一次函数的表达式为$y=-x+3$.
将点A(a,2)的坐标代入$y=-x+3$,
得$2=-a+3$,解得$a=1$,
∴点A(1,2).
把点A(1,2)的坐标代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=1 × 2=2$.
(2)[第1步,由反比例函数的图象关于坐标原点中心对称求点C的坐标,再结合勾股定理求$AC^{2}$]
根据题意画出D的位置如图所示,连接AD,
由
(1)知,反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$,
∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,且点A(1,2),
∴点C的坐标为(-1,-2).
∴$AC^{2}=(1+1)^{2}+(2+2)^{2}=20$.
[第2步,设$D(m,\frac{2}{m})$,结合勾股定理分别表示$AD^{2}$,$CD^{2}$,根据$AD^{2}=CD^{2}+AC^{2}$建立方程求m的值,从而可得点D的坐标]
设点D的坐标为$(m,\frac{2}{m})$,
∴$AD^{2}=(1-m)^{2}+(2-\frac{2}{m})^{2}$,
$CD^{2}=(-1-m)^{2}+[\frac{2}{m}-(-2)]^{2}$.
∵∠ACD=90°,
∴$AD^{2}=CD^{2}+AC^{2}$.
∴$(1-m)^{2}+(2-\frac{2}{m})^{2}=(-1-m)^{2}+[\frac{2}{m}-(-2)]^{2}+20$,
解得$m=-4$或-1(舍去).
∴点D的坐标为$(-4,-\frac{1}{2})$.
[第3步,利用待定系数法求直线AD的表达式]
设直线AD的函数表达式为$y=k_{1}x+b_{1}(k_{1} \neq 0)$,
将点A(1,2),$D(-4,-\frac{1}{2})$的坐标代入,
得$\begin{cases}k_{1}+b_{1}=2, \\-4k_{1}+b_{1}=-\frac{1}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases}k_{1}=\frac{1}{2}, \\b_{1}=\frac{3}{2}, \end{cases}$
∴直线AD的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.
(3)[第1步,设$E(t,\frac{2}{t})$,利用待定系数法求直线AE的表达式]
设点E的坐标为$(t,\frac{2}{t})$,直线AE的表达式为$y=k_{2}x+b_{2}$,
把点A(1,2),$E(t,\frac{2}{t})$的坐标代入,
得$\begin{cases}k_{2}+b_{2}=2, \\tk_{2}+b_{2}=\frac{2}{t}, \end{cases}$解得$\begin{cases}k_{2}=-\frac{2}{t}, \\b_{2}=\frac{2t+2}{t}, \end{cases}$
∴直线AE的表达式为$y=-\frac{2}{t}x+\frac{2t+2}{t}$.
[第2步,表示出点P坐标,从而表示出BP,进而可由$S_{\triangle BEP}$建立方程求t的值,即可求点E坐标]
当$y=0$时,$0=-\frac{2}{t}x+\frac{2t+2}{t}$,
解得$x=t+1$,
∴点P的坐标为$(t+1,0)$.
∴$BP=|t+1-3|=|t-2|$.
∴$S_{\triangle BEP}=\frac{1}{2} · |y_{E}| · BP=\frac{1}{2} · |\frac{2}{t}| · |t-2|=2$,
即$\frac{2}{t}(t-2)=4$或$\frac{2}{t}(t-2)=-4$.
解得$t=-2$或$t=\frac{2}{3}$.
∴点E的坐标为(-2,-1)或$(\frac{2}{3},3)$.